Par skaitļu kopām

Rīgas 6. vidusskolas

10.^a klases skolnieka

Eduarda Blumberga

referāts par skaitļu kopām

2000. gada 22. septembrī

SKAITĻU KOPAS

1. Naturālo skaitļu kopa N

            Par naturāliem skaitļiem sauc skaitļus, kas rodas skaitīšanas procesā. Šie skaitļi veido naturālo skaitļu kopu, kuru var pierakstīt kā bezgalīgu skaitļu virkni:

N = (1, 2, 3, …, n, n+1,…)

          Naturālās skaitļu kopas galvenās īpašības:

A. Naturālo skaitļu kopa ir sakārtota.

B. Naturālo skaitļu kopa ir bezgalīga.

C. Definētas reizināšana un saskaitīšana.

Saskaitīšanai

a) komutatīvā īpašība

b) asociatīvā īpašība

Reizināšanai

a) komutatīvā īpašība

b) asociatīvā īpašība

c) distributīvā īpašība

D. Jebkuriem 2 naturāliem skaitļiem m un n var atrast tādu skaitli k, ka ir spēkā

2. Veselo skaitļu kopa Z

Z = (…, –n, …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …, n, …)

            Pievienojot naturālo skaitļu kopai visus naturāliem skaitļiem pretējos skaitļus un skaitli 0, iegūst veselo skaitļu kopu.

            Veselo skaitļu kopa ir bezgalīga un tajā nav vismazākā un vislielākā elementa.

3. Racionālo skaitļu kopa Q

          Par racionāliem skaitļiem sauc skaitļus, kurus var izteikt kā attiecību  kur  Z, bet N. Starp jebkuriem 2 racionāliem skaitļiem atrodas bezgalīgi daudz citu racionālu skaitļu.

            Racionālo skaitļu kopa ir kopa, kuras elementi ir visi bezgalīgie periodiskie decimāldaļskaitļi.

4. Iracionāli skaitļi

            Bezgalīgus neperiodiskus decimāldaļskaitļus sauc par iracionāliem skaitļiem. Piem. p = 3,14157926

5. Reālie skaitļi R

            Skaitļu kopu, kuras elementi ir visi racionālie un visi iracionālie skaitļi, sauc par reālo skaitļu kopu.

SKAITĻU KOPAS PAPLAŠINĀŠANA

Izpildot dažādas darbības ar skaitļiem, jau aritmētikā bija jāsastopas ar gadījumiem, kad ne visas aplūkojamās darbības dotajā skaitļu kopā ir izpildāmas. Tā, piemēram, naturālo skaitļu kopā N var vienmēr izpildīt saskaitīšanu un reizināšana, bet ne vienmēr izpildīt atņemšanu un dalīšanu. Tādēļ tajos gadījumos, kad kāda no darbībām nav izpildāma, matemātikā parasti paplašina doto skaitļu kopu ar jauniem skaitļiem tā, lai šajā paplašinātajā skaitļu kopā vajadzīgās darbības būtu izpildāmas. Reālo skaitļu kopa R tika izveidota, pakāpeniski paplašinot naturālo skaitļu kopu N.

1. Lai būtu iespējams izpildīt atņemšanas darbību, paplašina naturālo skaitļu kopu N, definējot naturāliem skaitļiem 1,2,…,m,… pretējus skaitļus -1,-2,…,-m,… , kā arī skaitli 0. Paplašinot naturālo skaitļu kopu N ar šiem jaunajiem skaitļiem 0, -1,-2,…, iegūst veselo skaitļu kopu Z , kurā N ieiet kā īsta apakškopa un kurā var izpildīt jau 3 darbības: saskaitīšanu, reizināšanu un atņemšanu. Skaitļu kopā Z var vienmēr arī atrisināt vienādojumu

x+m=n,  ja mÎZ un  nÎZ.

2. Veselo skaitļu kopā Z  ne vienmēr ir izpildāma dalīšanas darbība. Lai šo darbību varētu izpildīt, kopa Z  ir jāpapildina ar jauniem skaitļiem ‑ vienkāršākajiem daļskaitļiem, kurus definē kā 1/n, nÎN. Vienkāršākos daļskaitļus 1/n sauc arī par naturālo skaitļu apgrieztajiem skaitļiem.

Par divu veselu skaitļu dalījumu  sauc vesela skaitļa m un vienkāršākās daļas  reizinājumu. Piemēram, ja mÎN, . Ja n¹1 un m nedalās ar n bez atlikuma, tad  sauc arī par daļskaitļiem. Skaitļu kopu, kuru iegūst veselo skaitļu kopai Z  pievienojot daļskaitļus , sauc par racionālo skaitļu kopu un apzīmē ar Q. Var pierādīt, ka katru racionālu skaitli var uzrakstīt formā , kur nÎN ,mÎZ, jo speciālgadījumā, kad n=1, ÎZ. Racionālo skaitļu kopā Q definē divu racionālu skaitļu vienādību: , no kuras secina, ka daļas lielums nemainās, ja daļas skaitītāju un saucēju reizina vai dala ar naturālu skaitli. Izmantojot šīs īpašības, ir iespējama divu vai vairāku daļu saucēju vienādošana, kā arī daļu saīsināšana. Tālāk definē saskaitīšanas un reizināšanas darbības, bet atņemšanu un dalīšanu ¾  kā pretējās darbības attiecīgi saskaitīšanai un reizināšanai. Ar racionāliem skaitļiem var izpildīt jau četras darbības: saskaitīšanu, reizināšanu, atņemšanu un dalīšanu (izņemot dalīšanu ar 0). Racionālo skaitļu kopā Q var vienmēr atrisināt vienādojumu

ax+b=c, a ¹ 0,         a,b,c Î Q.

3. Racionālo skaitļu kopā Q  ne vienmēr var izvilkt kvadrātsakni no pozitīva racionāla skaitļa. Piemēram, neeksistē racionāls skaitlis , kuram , jeb  nav racionāls skaitlis. Lai saknes vilkšanas darbība no jebkura pozitīva racionāla skaitļa būtu izpildāma, racionālo skaitļu kopa  Q  jāpapildina ar jauniem skaitļiem ¾ iracionāliem skaitļiem, kurus definē kā bezgalīgus neperiodiskus decimāldaļskaitļus. Paplašinātā skaitļu kopa, t.i., racionālo un iracionālo skaitļu kopu apvienojums, veido reālo skaitļu kopu R. Šajā kopā bez četrām algebriskajām darbībām ir iespējams vienmēr izvilkt kvadrātsakni no pozitīva racionāla skaitļa. Tālākie pētījumi pierāda, ka reālo skaitļu kopā R ir izpildāmas vēl daudz citas darbības: var izvilkt gan kvadrātsakni, gan arī jebkuras pakāpes sakni no katra pozitīva reāla skaitļa, kāpināt pozitīvu reālu skaitli jebkurā reālā pakāpē, atrast trigonometrisko funkciju vērtības dažādiem leņķiem, u.c. Reālo skaitļu kopā eksistē skaitļi p un e kā iracionāli skaitļi, ir iespējams atrisināt vienādojumu x²‑a=0 ar katru a>0, jo  un  eksistē kā reāls skaitlis. Nedaudz vispārīgāk ‑  katram kvadrātvienādojumam ax²+bx+c=0, kuram a,b,cÎR, a>0 un D=b²‑4ac>0, eksistē divi reāli atrisinājumi. Tos atrod pēc kvadrātvienādojuma atrisināšanas formulas . Šajā gadījumā kvadrāttrinomu var sadalīt reizinātājos

ax²+bx+c=a(x‑x₁)(x‑x₂).

Ja D<0, šim kvadrātvienādojumam reālo skaitļu kopā atrisinājums neeksistē un līdz ar to kvadrāttrinomu nevar sadalīt arī reizinātājos. Rodas nepieciešamība reālo skaitļu kopu paplašināt ar jauniem skaitļiem tā, lai katru kvadrāttrinomu varētu sadalīt līdzīgos reizinātājos kā gadījumā, ja D>0.

Šādas paplašināšanas rezultātā iegūst jaunu skaitļu kopu ‑ kompleksos skaitļus.

Jāatzīmē, ka, paplašinot kādu dotu skaitļu kopu K ar jauniem skaitļiem, vienmēr jāievēro šādi divi nosacījumi:

A. Paplašinātā kopa K₁ satur doto kopu K kā īstu apakškopu, t.i., KÌ K₁.

B. Paplašinātajā kopā K₁ ir definētas visas tās darbības, kas dotajā kopā K, un šo darbību rezultāti nav pretrunā ar darbībām kopā K.

Protams, paplašinātajā kopā K₁ parasti ir definētas arī jaunas darbības, kuru dēļ kopu K paplašināja, var parādīties jaunajiem skaitļiem arī citas īpašības, kuras nebija pareizas kopā K. Iespējami arī tādi gadījumi, kad atsevišķas īpašības, kuras bija pareizas kopā K, pēc paplašināšanas nav vairs pareizas tiem jaunajiem kopas K₁ elementiem, kas nepieder K. Šādas īpašības, protams, neveido pretrunas paplašinātajā skaitļu kopā K₁.

Nav grūti pārliecināties, ka, gan paplašinot naturālo skaitļu kopu N par veselo skaitļu kopu Z, gan paplašinot veselo skaitļu kopu Z par racionālo skaitļu kopu Q, gan paplašinot racionālo skaitļu kopu Q par reālo skaitļu kopu R, īpašības A un B ir izpildītas.

KOMPLEKSIE SKAITĻI

1. definīcija. Par imagināro vienību i sauc tādu skaitli, kuram i×i=i²=‑1.

Citiem vārdiem ‑ imaginārā vienība pēc definīcijas ir kvadrātvienādojuma x²+1=0 atrisinājums.

Piezīme. No vienādības i²=‑1 formāli velkot kvadrātsakni iegūst, ka . Vēsturiski tieši šādā veidā matemātiski tika ieviesta imaginārā vienība i. Vārds “imaginārs” ir cēlies no franču vārda “imaginaire” ¾ neesošs, un apzīmējums i ir šī vārda pirmais burts. Nosaukumu “imaginārie skaitļi” ieviesa 1637.g. franču matemātiķis R.Dekarts un 1777.g. - L.Eilers, kurš pirmo reizi pielietoja arī apzīmējumu .

2. definīcija. Reāla skaitļa b reizinājumu ar imagināro vienību i, t.i. skaitļus bi, sauc par  tīri imagināriem skaitļiem.

3. definīcija. Reāla skaitļa a un tīri imagināra skaitļa bi, summu a+bi sauc par kompleksu skaitli. Komplekso skaitļu kopu apzīmē ar burtu C.

Ja kompleksu skaitli apzīmē ar vienu burtu, piemēram z, tad

 z=a+bi,    a,b ÎR.                                                      (1)

Šo izteiksmi sauc par kompleksā skaitļa z algebrisko formu, bet a un b - attiecīgi par kompleksā skaitļa z reālo un imagināro daļu. Apzīmē: Rez=a, Imz=b.

4. definīcija. Kompleksu skaitli a+bi, kuram b¹0, sauc par imagināru skaitli.

5. definīcija. Divi kompleksi skaitļi ir vienādi tad un tikai tad, ja ir vienādas šo skaitļu reālās un imaginārās daļas.

To pieraksta šādi:

 a₁+b₁i=a₂+b₂i Û      jeb       .

6. definīcija. Divus kompleksus skaitļus saskaita pēc formulas

(a₁+b₁i)+(a₂+b₂i)=a₁+a₂+(b₁+b₂)i.

Saskaitīšanas darbību kompleksajiem skaitļiem vārdos var formulēt šādi: saskaitot kompleksos skaitļus ir attiecīgi jāsaskaita to reālās un imaginārās daļas.

7. definīcija. Divus kompleksos skaitļus atņem pēc formulas

(a₁+b₁i)‑(a₂+b₂i)=a₁‑a₂+(b₁‑b₂)i,

jeb, atņemot kompleksos skaitļus, attiecīgi ir no pirmā skaitļa reālās un imaginārās daļas jāatņem otrā skaitļa reālā un imaginārā daļa.

8. definīcija. Divus kompleksus skaitļus reizina pēc formulas

(a₁+b₁i)(a₂+b₂i)= a₁a₂‑b₁b₂+(a₁b₂+a₂b₁)i.

Reizināšanas darbību kompleksajiem skaitļiem vārdos var formulēt šādi: divus kompleksus skaitļus reizina pēc divu binomu (a₁+b₁i) un (a₂+b₂i) algebriskās reizināšanas metodes, kurā pēc iekavu atvēršanas i² tiek aizvietots ar skaitli ‑1.

Komplekso skaitļu saskaitīšanas un reizināšanas darbībām, tāpat kā reālajiem skaitļiem ir pareizas komutatīvā, asociatīvā un distributīvā īpašība.

9. definīcija. Darbību, ar kuru kompleksam skaitlim z=a+bi piekārto kompleksu skaitli a‑bi, sauc par kompleksi saistītā darbību. Šo darbību apzīmē, liekot virs dotā skaitļa svītriņu. Tātad, ja z=a+bi, tad =a‑bi, jeb

Piezīme. Ja skaitli ‑i apzīmē ar burtu j, tad j2=‑1 vai . Līdzīgi iepriekšējam var izveidot citu komplekso skaitļu kopu C*, kuras elementi ir z*=a+jb, vai z*=a‑ib=, kur zÎC. Tātad kopas C* elementus iegūst kā atbilstošos kopas C elementus, ar kuriem ir izpildīta kompleksi saistītā darbība. Arī darbībām kopā  ir līdzīga īpašība: pārejot uz kompleksi saistītajiem, šīs darbības paliek pareizas arī kopā C* , un otrādi. Lietojot mūsdienu matemātikas terminoloģiju, saka, ka C un C* ir izomorfas telpas. Tas nozīmē, ka ir iespējams kompleksos skaitļus ieviest divējādi ‑ kā telpas C elementus vai kā telpas  C* elementus. Pāreja no C* uz C un otrādi tiek realizēta ar kompleksi saistītā darbību.

10. definīcija. Par kompleksa skaitļa z=a+bi moduli  sauc reālu nenegatīvu skaitli . Tātad  jeb .

Ja z ir reāls skaitlis, t.i., b=0 un z=a, tad  un modulis sakrīt ar reālā skaitļa absolūto vērtību.

Katram kompleksam skaitlim z ir pareiza vienādība

,                                                                                          (4)

kuru viegli pārbaudīt, izmantojot 9. un 10. definīcijas. Lietojot vienādību (4), var pierādīt arī šādu īpašību:

11. definīcija. Par divu kompleksu skaitļu z₁ un z₂ dalījumu  sauc tādu skaitli z, kurš, reizināts ar dalītāju z₂, dod dalāmo z₁. Tātad

Ja z₂¹0 , tad komplekso skaitļu kopā C eksistē viens vienīgs dalījums  un to atrod pēc formulas

,                 (5)

jeb

.                       (6)

Komplekso skaitļu dalīšanas kārtulu vārdos var formulēt šādi:

Daļas skaitītājs un saucējs ir jāreizina ar saucēja saistīto komplekso skaitli un pēc pārveidojumiem iegūtā izteiksme ir jāizsaka kompleksā skaitļa algebriskajā formā a+b_i

Teorēma.

Algebriskās darbības ar kompleksajiem skaitļiem a+ib izpilda pēc tiem pašiem likumiem kā to dara reālo skaitļu gadījumā binomiem a+ib, kur a un b ir brīvi izraudzīti reāli skaitļi, bet i saglabājas kā burta izteiksme. Ja, izpildot darbības, rezultātā ieiet šī burta i pakāpes, tad tās ir jāaizvieto attiecīgi i²=‑1, i³=‑i, i⁴=1, i⁵=i, …

No šīs teorēmas izriet, ka identitātēs, kas satur četru algebrisko darbību ‑ saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas un dalīšanas dažādas izteiksmes, burtu vietā drīkst ievietot arī kompleksus skaitļus. Citiem vārdiem ‑ racionālu izteiksmju algebriskās identitātes saglabā savu pareizību arī tad, ja burtu vērtības ir kompleksi skaitļi.

Piemēram,  ir racionālu izteiksmju identitāte, kura ir pareiza visiem reāliem skaitļiem z¹±1. Šī identitāte paliek pareiza arī tad, ja z ir jebkurš komplekss skaitlis, izņemot z¹±1.

Daudzas īpašības kompleksajiem skaitļiem ir līdzīgas kā reālajiem skaitļiem, jeb šīs īpašības saglabājas, paplašinot reālo skaitļu kopu R par komplekso skaitļu kopu C. Tomēr ir arī tādas īpašības, kuras bija pareizas reālajiem skaitļiem, bet nav pareizas imaginārajiem skaitļiem, t.i., skaitļiem a+ib, kur b¹0.

Šāda īpašība ir nevienādības starp skaitļiem.

Reālo skaitļu kopa R ir sakārtota, t.i., katriem diviem reāliem skaitļiem x₁ÎR un x₂ÎR ir pareiza viena un tikai viena no 3 attieksmēm: 1) x₁=x₂;  2) x₁2; 3) x₁>x₂.

Imaginārajiem skaitļiem, t.i., skaitļiem z=a+ib, b¹0, nevienādībām nav jēgas. Tādējādi komplekso skaitļu kopa C nav sakārtota.

s Parādīsim ar piemēriem, ka nevienādības starp imagināriem skaitļiem noved pie pretrunām matemātikā.

1) Pieņemsim, ka 2i>i. Tad 2i‑i>0 un i>0. Kāpinot šīs nevienādības abas puses kvadrātā, iegūst i²>0 vai ‑1>0, t.i. nepareizu nevienādību.

2) Tagad pieņemsim, ka 2i vai i<0. Reizinot šīs nevienādības abas puses ar (-1) iegūst ‑i>0. Kāpinot pozitīvu skaitli kvadrātā iegūst (‑i)²>0 Þ ‑1>0, kas arī ir nepareiza nevienādība. Tātad nav pareiza nevienādība 2i.

3) Arī vienādība 2i=i nav pareiza, jo tad 2i‑i=0 un i=0. Tādējādi imagināri skaitļi i un 2i nav saistāmi ne ar vienu no zīmēm =, <, >.t

Secinājums. Nevienādības starp kompleksajiem skaitļiem iespējamas tad un tikai tad, ja šie skaitļi ir reāli.

Tā, piemēram, var salīdzināt savā starpā ar nevienādībām komplekso skaitļu moduļus, reālās daļas un imaginārās daļas, jo tie ir reāli skaitļi, bet nevar nevienādības lietot imagināriem skaitļiem. 

3. Kvadrātsaknes atrašana no kompleksa skaitļa.

Aplūkosim kvadrātsaknes vilkšanu no kompleksa skaitļa a+ib kā apgriezto darbību kāpināšanai kvadrātā.

12. definīcija. Skaitli x+iy sauc par kvadrātsakni no kompleksa skaitļa a+ib, ja (x+iy)²=a+ib.

Jeb

Izmantotā literatūra:

1. D. Kriķis, K. Šteiners. Algebra 10. - 12. klasei. Apgāds Zvaigzne ABC, 1998.

2. http://www.liis.lv datubāze - Skaitļi. Komplekso skaitļu lietojums.

3. Mana pierakstu klade algebrā 2000. / 2001. māc. g.