Rīgas 6.
vidusskolas
10.a
klases skolnieka
Eduarda
Blumberga
referāts par
skaitļu kopām
2000. gada
22. septembrī

SKAITĻU KOPAS
1. Naturālo skaitļu kopa
N

Par naturāliem skaitļiem sauc skaitļus,
kas rodas skaitīšanas procesā. Šie skaitļi veido naturālo skaitļu kopu, kuru
var pierakstīt kā bezgalīgu skaitļu virkni:
N = (1, 2, 3, …, n, n+1,…)
Naturālās skaitļu kopas galvenās īpašības:
A.
Naturālo skaitļu kopa ir sakārtota.
B. Naturālo skaitļu kopa ir bezgalīga.
C. Definētas reizināšana un saskaitīšana.
Saskaitīšanai
a) komutatīvā
īpašība 

b) asociatīvā
īpašība 

Reizināšanai
a) komutatīvā
īpašība 

b) asociatīvā
īpašība 

c) distributīvā
īpašība 

D.
Jebkuriem 2 naturāliem skaitļiem m un
n var atrast tādu skaitli k, ka ir spēkā 

2. Veselo skaitļu
kopa Z
Z
= (…, –n, …,
–3,
–2,
–1,
0, 1, 2, 3, …,
n, …)
Pievienojot naturālo skaitļu kopai
visus naturāliem skaitļiem pretējos skaitļus un skaitli 0, iegūst veselo
skaitļu kopu.
Veselo
skaitļu kopa ir bezgalīga un tajā nav vismazākā un vislielākā elementa.
3. Racionālo skaitļu
kopa Q
Par racionāliem skaitļiem sauc skaitļus,
kurus var izteikt kā attiecību
kur
Z, bet
N. Starp jebkuriem 2
racionāliem skaitļiem atrodas bezgalīgi daudz citu racionālu skaitļu.



Racionālo
skaitļu kopa ir kopa, kuras elementi ir visi bezgalīgie periodiskie
decimāldaļskaitļi.
4. Iracionāli skaitļi
Bezgalīgus neperiodiskus
decimāldaļskaitļus sauc par iracionāliem skaitļiem. Piem. p = 3,14157926
5. Reālie skaitļi R
Skaitļu kopu, kuras elementi ir visi racionālie un visi iracionālie
skaitļi, sauc par reālo skaitļu kopu.
SKAITĻU KOPAS PAPLAŠINĀŠANA
Izpildot dažādas
darbības ar skaitļiem, jau aritmētikā bija jāsastopas ar gadījumiem, kad ne
visas aplūkojamās darbības dotajā skaitļu kopā ir izpildāmas. Tā, piemēram,
naturālo skaitļu kopā N var vienmēr izpildīt saskaitīšanu un reizināšana, bet ne vienmēr
izpildīt atņemšanu un dalīšanu. Tādēļ tajos gadījumos, kad kāda no darbībām nav
izpildāma, matemātikā parasti paplašina doto skaitļu kopu ar jauniem skaitļiem
tā, lai šajā paplašinātajā skaitļu kopā vajadzīgās darbības būtu izpildāmas.
Reālo skaitļu kopa R tika izveidota, pakāpeniski paplašinot naturālo skaitļu kopu N.
1. Lai būtu iespējams izpildīt
atņemšanas darbību, paplašina naturālo skaitļu kopu N, definējot naturāliem skaitļiem 1,2,…,m,…
pretējus skaitļus -1,-2,…,-m,… , kā
arī skaitli 0. Paplašinot naturālo
skaitļu kopu N ar šiem jaunajiem skaitļiem 0,
-1,-2,…, iegūst veselo skaitļu kopu Z , kurā N ieiet kā īsta apakškopa un kurā var izpildīt jau 3 darbības:
saskaitīšanu, reizināšanu un atņemšanu. Skaitļu kopā Z var vienmēr arī atrisināt vienādojumu
x+m=n, ja mÎZ un nÎZ.
2. Veselo skaitļu kopā Z ne vienmēr ir izpildāma
dalīšanas darbība. Lai šo darbību varētu izpildīt, kopa Z ir jāpapildina ar jauniem
skaitļiem ‑ vienkāršākajiem daļskaitļiem, kurus definē kā 1/n, nÎN. Vienkāršākos daļskaitļus 1/n
sauc arī par naturālo skaitļu
apgrieztajiem skaitļiem.
Par divu veselu
skaitļu dalījumu
sauc vesela skaitļa m un vienkāršākās daļas
reizinājumu. Piemēram,
ja mÎN,
. Ja n¹1 un m nedalās ar n bez atlikuma, tad
sauc arī par
daļskaitļiem. Skaitļu kopu, kuru iegūst veselo skaitļu kopai Z pievienojot daļskaitļus
, sauc par racionālo skaitļu kopu un apzīmē ar Q.
Var pierādīt, ka katru racionālu skaitli var uzrakstīt formā
, kur nÎN ,mÎZ, jo speciālgadījumā, kad n=1,
ÎZ. Racionālo skaitļu kopā Q
definē divu racionālu skaitļu vienādību:
, no kuras secina, ka daļas lielums nemainās, ja daļas
skaitītāju un saucēju reizina vai dala ar naturālu skaitli. Izmantojot šīs
īpašības, ir iespējama divu vai vairāku daļu saucēju vienādošana, kā arī daļu
saīsināšana. Tālāk definē saskaitīšanas un reizināšanas darbības, bet atņemšanu
un dalīšanu ¾ kā
pretējās darbības attiecīgi saskaitīšanai un reizināšanai. Ar racionāliem
skaitļiem var izpildīt jau četras darbības: saskaitīšanu, reizināšanu,
atņemšanu un dalīšanu (izņemot dalīšanu ar 0). Racionālo skaitļu kopā Q
var vienmēr atrisināt vienādojumu








ax+b=c, a ¹ 0, a,b,c Î Q.
3. Racionālo skaitļu kopā Q ne vienmēr var izvilkt kvadrātsakni no
pozitīva racionāla skaitļa. Piemēram, neeksistē racionāls skaitlis
, kuram
, jeb
nav racionāls
skaitlis. Lai saknes vilkšanas darbība no jebkura pozitīva racionāla skaitļa
būtu izpildāma, racionālo skaitļu kopa Q jāpapildina ar jauniem skaitļiem ¾ iracionāliem skaitļiem, kurus definē kā bezgalīgus neperiodiskus decimāldaļskaitļus. Paplašinātā skaitļu
kopa, t.i., racionālo un iracionālo skaitļu kopu apvienojums, veido reālo
skaitļu kopu R. Šajā kopā bez četrām algebriskajām darbībām ir iespējams vienmēr
izvilkt kvadrātsakni no pozitīva racionāla skaitļa. Tālākie pētījumi pierāda,
ka reālo skaitļu kopā R ir izpildāmas vēl daudz citas darbības: var izvilkt gan kvadrātsakni,
gan arī jebkuras pakāpes sakni no katra pozitīva reāla skaitļa, kāpināt
pozitīvu reālu skaitli jebkurā reālā pakāpē, atrast trigonometrisko funkciju
vērtības dažādiem leņķiem, u.c. Reālo skaitļu kopā eksistē skaitļi p un e kā iracionāli skaitļi, ir iespējams
atrisināt vienādojumu x2‑a=0
ar katru a>0, jo
un
eksistē kā reāls
skaitlis. Nedaudz vispārīgāk ‑ katram
kvadrātvienādojumam ax2+bx+c=0,
kuram a,b,cÎR, a>0 un D=b2‑4ac>0, eksistē divi
reāli atrisinājumi. Tos atrod pēc kvadrātvienādojuma atrisināšanas formulas
. Šajā gadījumā kvadrāttrinomu var sadalīt reizinātājos






ax2+bx+c=a(x‑x1)(x‑x2).
Ja D<0, šim kvadrātvienādojumam reālo
skaitļu kopā atrisinājums neeksistē un līdz ar to kvadrāttrinomu nevar sadalīt
arī reizinātājos. Rodas nepieciešamība reālo skaitļu kopu paplašināt ar jauniem
skaitļiem tā, lai katru kvadrāttrinomu varētu
sadalīt līdzīgos reizinātājos kā gadījumā, ja D>0.
Šādas
paplašināšanas rezultātā iegūst jaunu skaitļu kopu ‑ kompleksos skaitļus.

Jāatzīmē, ka,
paplašinot kādu dotu skaitļu kopu K ar jauniem skaitļiem, vienmēr jāievēro šādi divi nosacījumi:
A. Paplašinātā kopa K1 satur doto kopu K
kā īstu apakškopu, t.i., KÌ K1.
B. Paplašinātajā kopā K1 ir definētas visas tās
darbības, kas dotajā kopā K, un šo darbību rezultāti nav
pretrunā ar darbībām kopā K.
Protams,
paplašinātajā kopā K1 parasti
ir definētas arī jaunas darbības, kuru dēļ kopu K paplašināja, var
parādīties jaunajiem skaitļiem arī citas īpašības, kuras nebija pareizas kopā K.
Iespējami arī tādi gadījumi, kad atsevišķas īpašības, kuras bija pareizas kopā K, pēc paplašināšanas nav vairs
pareizas tiem jaunajiem kopas K1
elementiem, kas nepieder K. Šādas īpašības, protams, neveido
pretrunas paplašinātajā skaitļu kopā K1.
Nav grūti pārliecināties, ka, gan paplašinot
naturālo skaitļu kopu N par veselo skaitļu kopu Z, gan paplašinot veselo skaitļu kopu Z par racionālo skaitļu kopu Q, gan paplašinot racionālo skaitļu kopu Q par reālo skaitļu kopu R, īpašības A un B ir izpildītas.
KOMPLEKSIE SKAITĻI
1. definīcija. Par imagināro vienību i sauc
tādu skaitli, kuram i×i=i2=‑1.
Citiem vārdiem ‑
imaginārā vienība pēc definīcijas ir kvadrātvienādojuma x2+1=0 atrisinājums.
Piezīme. No vienādības i2=‑1 formāli velkot
kvadrātsakni iegūst, ka
. Vēsturiski tieši šādā veidā matemātiski tika ieviesta
imaginārā vienība i. Vārds
“imaginārs” ir cēlies no franču vārda “imaginaire” ¾ neesošs, un apzīmējums i ir
šī vārda pirmais burts. Nosaukumu “imaginārie skaitļi” ieviesa 1637.g. franču
matemātiķis R.Dekarts un 1777.g. - L.Eilers, kurš pirmo reizi pielietoja arī
apzīmējumu
.


2. definīcija. Reāla skaitļa b reizinājumu ar imagināro
vienību i, t.i. skaitļus bi, sauc par
tīri imagināriem skaitļiem.
3. definīcija. Reāla skaitļa a un tīri imagināra skaitļa
bi, summu a+bi sauc par kompleksu skaitli. Komplekso skaitļu kopu apzīmē ar burtu C.
Ja
kompleksu skaitli apzīmē ar vienu burtu, piemēram z, tad
z=a+bi, a,b ÎR. (1)
Šo izteiksmi sauc par kompleksā skaitļa z algebrisko
formu, bet a un b - attiecīgi par kompleksā skaitļa z reālo un imagināro daļu. Apzīmē: Rez=a, Imz=b.
4. definīcija. Kompleksu skaitli a+bi, kuram b¹0, sauc par imagināru skaitli.
5. definīcija. Divi kompleksi
skaitļi ir vienādi tad un tikai tad, ja ir vienādas šo skaitļu reālās un
imaginārās daļas.
To pieraksta šādi:
a1+b1i=a2+b2i
Û
jeb
.


6. definīcija. Divus
kompleksus skaitļus saskaita pēc formulas
(a1+b1i)+(a2+b2i)=a1+a2+(b1+b2)i.
Saskaitīšanas
darbību kompleksajiem skaitļiem vārdos var formulēt šādi: saskaitot kompleksos skaitļus ir attiecīgi jāsaskaita to reālās un
imaginārās daļas.
7. definīcija. Divus kompleksos skaitļus atņem pēc formulas
(a1+b1i)‑(a2+b2i)=a1‑a2+(b1‑b2)i,
jeb,
atņemot kompleksos skaitļus, attiecīgi ir no pirmā skaitļa reālās un imaginārās
daļas jāatņem otrā skaitļa reālā un imaginārā daļa.
8. definīcija. Divus kompleksus skaitļus reizina pēc
formulas
(a1+b1i)(a2+b2i)=
a1a2‑b1b2+(a1b2+a2b1)i.
Reizināšanas
darbību kompleksajiem skaitļiem vārdos var formulēt šādi: divus kompleksus skaitļus reizina pēc divu binomu (a1+b1i)
un (a2+b2i) algebriskās reizināšanas metodes, kurā pēc
iekavu atvēršanas i2 tiek
aizvietots ar skaitli ‑1.
Komplekso
skaitļu saskaitīšanas un reizināšanas darbībām, tāpat kā reālajiem skaitļiem ir
pareizas komutatīvā, asociatīvā un distributīvā īpašība.
9. definīcija. Darbību, ar kuru kompleksam
skaitlim z=a+bi piekārto kompleksu skaitli a‑bi, sauc par kompleksi saistītā darbību. Šo darbību apzīmē, liekot virs dotā
skaitļa svītriņu. Tātad, ja z=a+bi,
tad
=a‑bi, jeb 


Piezīme. Ja skaitli ‑i apzīmē ar burtu j, tad j2=‑1 vai
. Līdzīgi iepriekšējam var izveidot citu komplekso skaitļu
kopu C*, kuras
elementi ir z*=a+jb, vai z*=a‑ib=
, kur zÎC. Tātad kopas C* elementus iegūst kā
atbilstošos kopas C elementus, ar kuriem ir izpildīta kompleksi saistītā darbība. Arī
darbībām kopā ir līdzīga īpašība:
pārejot uz kompleksi saistītajiem, šīs darbības paliek pareizas arī kopā C* , un otrādi. Lietojot
mūsdienu matemātikas terminoloģiju, saka, ka C un C* ir izomorfas telpas. Tas
nozīmē, ka ir iespējams kompleksos skaitļus ieviest divējādi ‑ kā telpas C elementus vai kā telpas C* elementus. Pāreja no C* uz C un otrādi tiek realizēta ar kompleksi saistītā darbību.


10. definīcija. Par
kompleksa skaitļa z=a+bi moduli
sauc reālu nenegatīvu
skaitli
. Tātad
jeb
.




Ja z ir reāls skaitlis, t.i., b=0 un z=a, tad
un modulis sakrīt ar
reālā skaitļa absolūto vērtību.

Katram kompleksam skaitlim z ir pareiza vienādība

kuru viegli pārbaudīt, izmantojot 9. un 10.
definīcijas. Lietojot vienādību (4), var pierādīt arī šādu īpašību:
11. definīcija. Par divu kompleksu skaitļu z1 un
z2 dalījumu
sauc tādu skaitli z,
kurš, reizināts ar dalītāju z2, dod dalāmo z1. Tātad


Ja z2¹0 , tad komplekso skaitļu kopā C eksistē viens vienīgs dalījums
un to atrod pēc
formulas


jeb

Komplekso skaitļu dalīšanas kārtulu vārdos var formulēt šādi:
Daļas skaitītājs un
saucējs ir jāreizina ar saucēja saistīto komplekso skaitli un pēc
pārveidojumiem iegūtā izteiksme ir jāizsaka kompleksā skaitļa algebriskajā
formā a+bi
Teorēma.
Algebriskās darbības ar kompleksajiem skaitļiem a+ib
izpilda pēc tiem pašiem likumiem kā to dara reālo skaitļu gadījumā binomiem
a+ib, kur a un b ir brīvi izraudzīti reāli skaitļi, bet i saglabājas kā burta
izteiksme. Ja, izpildot darbības, rezultātā ieiet šī burta i pakāpes, tad tās
ir jāaizvieto attiecīgi i2=‑1,
i3=‑i, i4=1, i5=i, …
No šīs teorēmas
izriet, ka identitātēs, kas satur četru algebrisko darbību ‑ saskaitīšanas,
atņemšanas, reizināšanas un dalīšanas dažādas izteiksmes, burtu vietā drīkst
ievietot arī kompleksus skaitļus. Citiem vārdiem ‑ racionālu izteiksmju
algebriskās identitātes saglabā savu
pareizību arī tad, ja burtu vērtības ir kompleksi skaitļi.
Piemēram,
ir racionālu
izteiksmju identitāte, kura ir pareiza visiem reāliem skaitļiem z¹±1. Šī identitāte paliek pareiza arī tad, ja z ir jebkurš komplekss skaitlis, izņemot z¹±1.

Daudzas
īpašības kompleksajiem skaitļiem ir līdzīgas kā reālajiem skaitļiem, jeb šīs
īpašības saglabājas, paplašinot reālo skaitļu kopu R par komplekso skaitļu kopu C. Tomēr ir arī tādas īpašības, kuras bija pareizas reālajiem skaitļiem,
bet nav pareizas imaginārajiem skaitļiem, t.i., skaitļiem a+ib, kur b¹0.
Šāda īpašība ir
nevienādības starp skaitļiem.
Reālo skaitļu kopa R ir sakārtota, t.i., katriem
diviem reāliem skaitļiem x1ÎR un x2ÎR ir pareiza viena un tikai viena no 3 attieksmēm: 1) x1=x2; 2) x12;
3) x1>x2.
Imaginārajiem
skaitļiem, t.i., skaitļiem z=a+ib, b¹0, nevienādībām nav jēgas. Tādējādi komplekso skaitļu kopa C nav sakārtota.
s Parādīsim ar piemēriem, ka nevienādības starp imagināriem skaitļiem
noved pie pretrunām matemātikā.
1) Pieņemsim, ka 2i>i. Tad 2i‑i>0 un i>0.
Kāpinot šīs nevienādības abas puses kvadrātā, iegūst i2>0 vai ‑1>0,
t.i. nepareizu nevienādību.
2) Tagad pieņemsim,
ka 2i vai i<0. Reizinot šīs
nevienādības abas puses ar (-1)
iegūst ‑i>0. Kāpinot pozitīvu
skaitli kvadrātā iegūst (‑i)2>0 Þ ‑1>0, kas arī ir nepareiza nevienādība. Tātad nav pareiza nevienādība 2i.
3) Arī vienādība 2i=i nav pareiza, jo tad 2i‑i=0 un i=0. Tādējādi imagināri skaitļi i
un 2i nav saistāmi ne ar vienu no
zīmēm =, <, >.t
Secinājums. Nevienādības starp kompleksajiem
skaitļiem iespējamas tad un tikai tad, ja šie skaitļi ir reāli.
Tā, piemēram, var
salīdzināt savā starpā ar nevienādībām komplekso skaitļu moduļus, reālās daļas
un imaginārās daļas, jo tie ir reāli
skaitļi, bet nevar nevienādības lietot imagināriem skaitļiem.
3. Kvadrātsaknes atrašana no kompleksa skaitļa.
Aplūkosim
kvadrātsaknes vilkšanu no kompleksa skaitļa a+ib
kā apgriezto darbību kāpināšanai kvadrātā.
12. definīcija. Skaitli x+iy sauc par kvadrātsakni no kompleksa skaitļa a+ib, ja (x+iy)2=a+ib.
Jeb 

Izmantotā
literatūra:
1. D. Kriķis, K.
Šteiners. Algebra 10. - 12. klasei. Apgāds Zvaigzne ABC, 1998.
2.
http://www.liis.lv datubāze - Skaitļi. Komplekso skaitļu lietojums.
3. Mana pierakstu
klade algebrā 2000. / 2001. māc. g.
Nav komentāru:
Ierakstīt komentāru