Sistēma

1. Uzdevuma formulējums:

Atrisināt vienādojumu sistēmu  ar precizitāti 10^-5 . Jāizmanto divas metodes.

2.Algoritmisks risinājuma pamatojums:

Dota vienādojumu sistēma  ar m mainīgajiem.

Apzīmējam x = (x₁,x₂,...,x_m), xR^m, tad katru fju f_i(x₁,x₂,...,x_m) var apzīmēt ar f_i(x), un ievedot vēl vektoru-funkciju f(x)=(f₁(x),f₂(x),...,f_m(x)), tad sākotnējo sistēmu var uzrakstīt formā f(x)=0.

1.)Vienādojumu sistēmu risināšana ar Ņūtona metodi:

Dota vienādojumu sistēma f(x)=0.

Dots kaut kāds nulltais tuvinājums x⁰ = (x⁰₁,...,x⁰_m) sistēmas atrisinājumam a=(a₁,a₂,...,a_m).

Kļūdas vektors ir e = a - x⁰ = (a₁ - x⁰₁,...,a_m - x⁰_m) = (e₁,...,e_m). Vienādībā f(a) = 0 aizvietojam a = x⁰ + e :       f(x⁰ + e) = 0.

Paņemsim no vienādojumu sistēmas galveno lineāro daļu, lai to izdarītu katru fju f_i(x⁰ + e) = 0 izvirzīsim pēc Teilora formulas, saglabājot tikai lineāro daļu, bet pārējo atmetot. Tā mēs iegūsim lineāru vienādojumi sistēmu, kas tuvināti aizstāj doto vien. sistēmu: , kur i = 1,2,...,m.

Izrēķinot to mēs iegūsim tuvinātus kļūdus rezultātus e⁰_i. Sākotnējo tuvinājumu mēs varam uzlabot aizstājot to ar x⁰_i + e⁰_i. Tātad x¹₁ = x⁰₁ + e⁰₁; ... x¹_m = x⁰_m + e⁰_m. Tādā veidā aprēķinus var turpināt. Rezultātā mēs katrai vērtībai a_i iegūsim tuvinājumu rindu, kurā katru nākamo atrisinājumu var iegūt no lineāras vienādojumu sistēmas pēc iepriekšējā tuvinājuma:

, kur i = 1,2,...,m un n = 1,2,...

To var pārveidot par f '(x)(xⁿ⁺¹ - xⁿ) = -f(xⁿ), kur f '(x) ir fju sistēmas f_i (i = 1,2,..,m) Jakobi matrica:

Pareizinot vienādojums f '(x)(xⁿ⁺¹ - xⁿ) = -f(xⁿ) abas puses no labās puses ar [f '(x)]^-1 ieģūsim:  xⁿ⁺¹ = xⁿ - [f '(x)]^-1   (n = 0,1,...,N), kur  ( - precizitāte ar kādu vēlas iegūt vienādojumu sistēmas atrisinājumu.

Tuvinājumu rindas konverģences nosacījums ir: , ja det[f '(x)] nav nulle atrisinājuma a apkārtnē.

Tagad izrakstīsim Ņūtona metodes formulas gadījumā m = 2:

, det f '(x) ¹ 0.

, kur , ,  un .

Tātad n+1 tuvinājmu aprēķina pēc formulām:

,

.

Tagad apskatīsim doto vienādojumu sistēmu:

Pārveidojam to par:

Izrēķinām Jakobi matricu:

D = -cos(x+1)siny+2

Tātad n+1 tuvinājumu dotajai vien. sistēmai var izrēķināt pēc formulām:

2.)Vienādojumu sistēmu risināšana ar Vienkāršo iterācijas  metodi:

Dota vienādojuma sistēma f(x)=0.

Dots kaut kāds nulltais tuvinājums x⁰ = (x⁰₁,...,x⁰_m) sistēmas atrisinājumam a=(a₁,a₂,...,a_m).

Pārveidojam doto sistēmu formā x = j(x), kur

  - tā ir iteratīvā funkcija.

Tā pat kā iepriekšējā metodē ņemam kļūdas:

 

, kur

Tātad M<1. Pietiekamais un nepieciešamais tuvinājuma rindas konverģences nosacījums ir Jakobi matricas īpašvērtībām jābūt  (i = 1,2,...,m).

Apskatām doto vienādojumu sistēmu un paŗveidojam to šādā formā:

Tātad iteratīvā funkcija ir:

Jakobi matrica ir

Grafiski nosaka aptuvenu atrisinājuma un aprēķina Jakobi matricas īpaðvērtības ðajā punktā.

Aptuvens atrisinājums ir x = 0.5 un y = -0.2, tātad l² = -1/2cos(1.5)sin(-0.2)

l = ±0.0059, tātad |l|<1 un tuvinājumu rinda konverģē.

3. Programmas:

{ROMUALDS BARKA'NS 2Dz2}

program nutona_metode_sistemam;

{ e   - kl'u'da,

  x0  - x nulltais tuvina'jums, y0 - y nulltais tuvina'jums,

  f1  - siste'mas pirmais viena'dojums,

  f2  - siste'mas otrais viena'dojums,

  f1x - pirma' vien. atvasina'jums pe'c x,

  f1y - pirma' vien. atvasina'jums pe'c y,

  f2x - otra' vien. atvasina'jums pe'c x,

  f2y - otra' vien. atvasina'jums pe'c y.}

const e=0.00001;

      x0=0;

      y0=0;

var x,y,a,b,x1,y1: real;

function f1(x,y:real):real;

 begin f1:=sin(x+1)-y-1.2 end;

function f2(x,y:real):real;

 begin f2:=2*x+cos(y)-2 end;

function f1x(x,y:real): real;

 begin f1x:=cos(x+1); end;

function f1y(x,y:real): real;

 begin f1y:=-1 end;

function f2x(x,y:real): real;

 begin f2x:=2 end;

function f2y(x,y:real): real;

 begin f2y:=-sin(y) end;

function nutoX(x,y:real):real;

 begin

  nutoX:=x-f2y(x,y)/(f1x(x,y)*f2y(x,y)-f1y(x,y)*f2x(x,y))*f1(x,y)-

    (-f1y(x,y))/(f1x(x,y)*f2y(x,y)-f1y(x,y)*f2x(x,y))*f2(x,y)

 end;

function nutoY(x,y:real):real;

 begin

  nutoY:=y-(-f2x(x,y))/(f1x(x,y)*f2y(x,y)-f1y(x,y)*f2x(x,y))*f1(x,y)-

    f1x(x,y)/(f1x(x,y)*f2y(x,y)-f1y(x,y)*f2x(x,y))*f2(x,y)

 end;

begin

 x:=x0;

 y:=y0;

 x1:=nutoX(x,y);

 y1:=nutoY(x,y);

 writeln;

 writeln(x:11:7,y:11:7);

 writeln(x1:11:7,y1:11:7);

 while (abs(x-x1)>e) or (abs(y-y1)>e) do

  begin

   x:=x1;

   y:=y1;

   a:=nutoX(x1,y1);

   b:=nutoY(x1,y1);

   x1:=a;

   y1:=b;

   writeln(x1:11:7,y1:11:7);

  end;

 writeln('Vien. sist. atrisinajums ar kludu',e:8:5,' pec Nutona metodes ir:');

 writeln('x=',x1:7:5,' y=',y1:7:5);

end.

{ROMUALDS BARKA'NS 2Dz2}

program vien_iteracijas_metode_sistemai;

 { e      - kl'u'da,

   x0, y0 - nulltais tuvina'jums,

   fi1    - viena'dojums forma' x=fi1(x,y),

   fi2    - viena'dojums forma' y=fi2(x,y).}

const

  e=0.00001;

  x0=0;

  y0=0;

var x,y,a,b,x1,y1:real;

function fi1(x,y:real):real;

 begin

  fi1:=-cos(y)/2+1

 end;

function fi2(x,y:real):real;

 begin

  fi2:=sin(x+1)-1.2

 end;

begin

 x:=x0;

 y:=y0;

 x1:=fi1(x,y);

 y1:=fi2(x,y);

 writeln(x:11:7,y:11:7);

 writeln(x1:11:7,y1:11:7);

 while (abs(x-x1)+abs(y-y1)>e) do

  begin

   x:=x1;

   y:=y1;

   a:=fi1(x1,y1);

   b:=fi2(x1,y1);

   x1:=a;

   y1:=b;

   writeln(x1:11:7,y1:11:7);

  end;

 writeln('Vien. sist. atrisinajums ar kludu',e:8:5,' pec vienkarsas iteracijas metodes ir:');

 writeln('x=',x1:7:5,' y=',y1:7:5);

end.

4. Rezultātu analīze:

1.) Ņūtona metode:

Izpildot  programmu, tiek iegūti šādi tuvinājumi:

	x	y
Nulltais tuvinājums:	0.000000	0.000000
Pirmais:	0.500000	-0.088378
Otrais:	0.506966	-0.202012
Treðais:	0.510149	-0.201833
Ceturtais:	0.510150	-0.201838

Tātad sistēmas atrisinājums ar precizitāti 10^-5 ir x = 0.51015 un y = -0.20184

2.) Vienkāršā iterācijas metode:

Izpildot  programmu, tiek iegūti šādi tuvinājumi:

	x	y
Nulltais tuvinājums:	0.000000	0.000000
Pirmais:	0.500000	-0.358539
Otrais:	0.531793	-0.202505
Treðais:	0.510217	-0.200760
Ceturtais:	0.510042	-0.201834
Piektais:	0.510149	-0.201845
Sestais:	0.510150	-0.201838

Tātad sistēmas atrisinājums ar precizitāti 10^-5 ir x = 0.51015 un y = -0.20184