Diferenciālvienādojumi

Latvijas  Universitāte

Fizikas un matemātikas fakultāte

Diferenciālvienādojumu un tuvināto metožu katedra

Silvija  Čerāne

Diferenciālvienādojumi

Eksperimentāls mācību līdzeklis datorzinātņu bakalaura programmas studentiem

Rīga, 1998.

Saturs

Ievads................................................................................................................................................................................................................... 2

2. Ģeometriskā interpretācija........................................................................................................................................................................... 5

3. Piemēri.............................................................................................................................................................................................................. 8

4. Pirmās kārtas diferenciālvienādojumu elementārās atrisināšanas metodes.................................................................................... 11

5. Tuvinātie atrisinājumi................................................................................................................................................................................. 22

6. Košī problēmas atrisinājuma eksistence un unitāte.............................................................................................................................. 24

8. LineĀri n-tās kārtas vienādojumi un lineāras vienādojumu sistēmas............................................................................................... 38

9. Lineāri vienādojumi ar konstantiem koeficientiem.............................................................................................................................. 42

10. Lineāras sistēmas ar konstantiem koeficientiem................................................................................................................................ 52

11. dinamiskas sistēmas................................................................................................................................................................................. 56

12. Stabilitāte Ļapunova nozīmē................................................................................................................................................................. 69

13. Pirmintegrāļi un parciālo vienādojumu risināšana.............................................................................................................................. 80

Literatūra........................................................................................................................................................................................................... 91

Ievads

1. Diferenciālvienādojumi ir vienādojumi, kuros nezināmais objekts ir viena vai vairāku mainīgo nepārtraukti diferencējamas funkcijas, pie kam vienādojumos noteikti ieiet šo funkciju atvasinājumi.

Pieņemsim , .

Definīcija 1.1. Par pirmās kārtas parasto diferenciālvienādojumu sauc vienādojumu

                                                                                              (1.1)

ja šajā vienādojumā noteikti ieiet funkcijas x atvasinājums.

 Funkcijas x atvasinājumu tekstā turpmāk apzīmēsim gan , gan , gan arī, īpaši runājot par vienādojumu sistēmām vai mehānikas uzdevumiem, .

Vairumā gadījumu aplūkosim vienkāršākus I kārtas diferenciālvienādojumus

                                                                                                  (1.2)

kur

                                               

ir plaknes apgabalā G nepārtraukta funkcija.

Diferenciālvienādojuma piemērs ir kaut vai katrs primitīvās funkcijas atrašanas uzdevums.

Definīcija 1.2. Nepārtraukti diferencējamu funkciju  sauc par vienādojuma (1.2) atrisinājumu t maiņas intervālā I, ja visiem t no I:

1.   ;

                                                2. .

Piemērs 1.1. a) Vienādojuma x’=1 atrisinājumus atrodam integrējot:            x(t)=t+C; ;

b)          ja x’=t, acīmredzot, ;

c)           vienādojuma x’=x atrisinājumu integrējot atrast nevar. Ievietojot var pārliecināties, ka .

Visos šajos piemēros atrastās funkcijas apmierina vienādojumus visiem .

Kā redzams piemērā, nevienam no vienkāršajiem diferenciālvienādojumiem atrisinājums nav nosakāms viennozīmīgi, atrisinājumu saime satur patvaïīgu konstanti C. Lai noteiktu vienu diferenciālvienādojuma atrisinājumu, ir vajadzīga vēl kāda papildus informācija. Parasti I kārtas vienādojumiem norāda atrisinājuma vērtību vienā punktā: ja , pieprasām

                                                                                                        (1.3)

(1.3.) sauc par sākuma nosacījumu vienādojumam (1.2).

Definīcija 1.3. Uzdevumu

                                                                                                   (1.4)

sauc par Košī jeb sākuma vērtību problēmu.

Piemērā 1.1.c) Vienādojuma x’=x atrisinājumu saime ir funkcijas . Ja ir dots sākuma nosacījums x(0)=1, ievietojam , tāpēc C=1.

Definīcija 1.4. Katras Košī problēmas atrisinājumu sauc par vienādojuma (1.2) partikulāro atrisinājumu.

Definīcija 1.5. Visu vienādojuma (1.2) partikulāro atrisnājumu saimi sauc par šī vienādojuma vispārīgo atrisinājumu.

Diferenciālvienādojumu pamatkursa galvenie jautājumi ir:

1. pārbaudīt, vai Košī problēmai eksistē atrisinājums (eksistence);

2. vai atrisinājums Košī problēmai ir viens vienīgs (unitāte);

3. kādā intervālā šis atrisinājums eksistē (turpināmība);

4. analītiska atrisinājuma atrašana (risināšanas metodes);

5. tuvināta atrisinājuma atrašana ar skaitliskām metodēm;

6. atrisinājuma kvalitatīva pētīšana, ja arī tā analītiskā izteiksme nav zināma.

Atbildes uz pirmajiem trim fundamentālajiem jautājumiem ir vienkāršas, taču nebūt nav acīmredzamas un to pamatojums prasa pietiekoši smalkus matemātiskus spriedumus. Iespēja atrast atrisinājumu analītiski, diemžēl, nav likums, bet drīzāk ir izņēmuma gadījums, tāpēc bieži nākas ķerties pie tuvinātajām - skaitliskajām risināšanas mtodēm. Abos šajos jautājumos mūsdienās, protams, lieliski var palīdzēt matemātikas paketes Mathematica, Maple vai citas. Taču ir daudz jautājumu, uz kuriem principā nevar atbildēt ar skaitliskiem eksperimentiem un aprēķiniem, tāpēc nenovērtējama nozīme ir diferenciālvienādojumu kvalitatīvajai pētīšanai.

2. Vispārinājumi.

a) Ja vienādojumā ieiet meklējamās funkcijas augstāku kārtu atvasinājumi, iegūstam attiecīgi augstākas kārtas diferenciālvienādojumu.

Definīcija 1.6. Ja , , vienādojumu

                                                                        (1.5)

sauc par n-tās kārtas parasto diferenciālvienādojumu.

Vispārīgāka n-tās kārtas vienādojuma forma ir vienādojumi izskatā

                                                                    (1.6)

pie nosacījuma, ka vienādojumā noteikti ieiet augstākās kārtas atvasinājums . Jāatzīmē, ka vienādojumi (1.5) un (1.6) tāpat kā (1.1) un (1.2) nebūt nav ekvivalenti.

Lai fiksētu vienu noteiktu n-tās kārtas vienādojuma atrisinājumu, jāpievieno n papildus nosacījumi. Ja šie nosacījumi izvēlēti šādi

                                                         (1.7)

…

,

tos sauc par vienādojuma (1.5) sākuma nosacījumiem, bet pašu uzdevumu (1.5), (1.7) par Košī problēmu. Protams, n-tās kārtas vienādojumam nosacījumus var izvēlēties arī daudzos citos veidos.

b) Citu pirmās kārtas diferenciālvienādojuma vispārinājumu iegūstam, ja x un dotā funkcija f ir vektorfunkcijas, x=colon(x₁,x₂,…,x_n), f=colon(f₁,f₂,…,f_n). Pieņemsim . Šai gadījumā iegūstam n diferenciālvienādojumu sistēmu

                                                                                           (1.8)

Sistēma (1.8) ir līdzvērtīga vektoriālam vienādojumam                                                            .

Lemma 1.1. Diferenciālvienādojumu (1.5), piemēroti izvēloties meklējamo vektorfunkciju y, var pārvērst par diferenciālvienādojumu sistēmu formā (1.8).

Pierādījums. Definējot y₁:=x, y₂:=x’, y₃:=x”,…,y_n=x^(n-1) un apzīmējot y=colon(y₁,y₂,…y_n), iegūstam diferenciālvienādojumu sistēmu                                                                 

                                                                                     (1.9)

Sistēma (1.9) ir sistēmas (1.8) speciāls gadījums. Šī iemesla dēļ diferenciālvienādojumu teorijā visus faktus pamato tikai sistēmām, bet (1.8) parasti sauc par n-tās kārtas sistēmu.

c) Pavisam atšķirīgu vienādojuma (1.1) vai (1.2) vispārinājumu iegūstam, ja uzskatām, ka funkcija x ir skalāra, bet vektoriāls ir mainīgais t=(t₁,t₂,…,t_m). Vispārīgā gadījumā šādi vienādojumi ir izskatā

                                                                         (1.10)

Ja F ir nepārtraukta funkcija un vienādojumā obligāti ieiet vismaz viens no funkcijas x parciālatvasinājumiem, (1.10) sauc par pirmās kārtas parciālo diferenciālvienādojumu.

2. Ģeometriskā interpretācija.

Katrs pirmās kārtas diferenciālvienādojuma

                                        x’=f(t,x)                                                        (2.1)

atrisinājums ir nepārtraukti diferencējama funkcija. Patvaļīgā punktā (t,x) šīs funkcijas grafika pieskares vektora virziena koeficients ir vienāds ar f(t,x). Parasti gan šie atrisinājumi un to grafiki nav zināmi, tāpēc rīkosimies otrādi.

Plaknes apgabalā G katram punktam (t,x) piekārtosim vektoru ar virziena koeficientu f(t,x). Tādā veidā apgabalā G tiek definēts vektoru lauks. Šī lauka vektori ir vienādojuma (2.1) atrisinājumu grafiku pieskaru vektori. Vienādojuma (2.1) atrisinājumi ir tās un tikai tās funkcijas, kuru grafiki katrā savā punktā pieskaras izveidotā lauka vektoriem.

Zīmējumā 2.1 parādīts vektoru lauks gadījumā f(t,x)=x²+t²-2.

          Zīmējums 2.1.

No šejienes iegūstam vienkāršu metodi tuvinātai grafiskai diferenciālvienādojumu atrisināšanai. Metode nav īpaši precīza, taču var dot priekšstatu par atrisinājuma izturēšanos, ja tikai vektoru lauks ir izvēlēts pietiekoši blīvs.

Piemērs 2.1. Vienādojums x’=k katram plaknes punktam piekārto vektoru ar konstantu virziena koeficientu k. Skaidrs, ka šī vienādojuma atrisinājumu grafiki ir taisnes ar virziena koeficientu k.

Zīmējums 2.2.

Piemērs 2.2. Vienādojums

                                              

katram plaknes punktam, izņemot taisnes t=0 punktus, piekārto tā rādiusvektora virzienu. No tā secinām, ka atrisinājumu grafiki ir visi stari, kuri iziet no koordinātu sākuma punkta, izņemot abas Ox ass pusasis.

              Zīmējums 2.3.

Piezīme. Ģeometriskas dabas jautājumos parasti vertikālos virzienus, tāpat punktus, kuros līnijām ir vertikālas pieskares no aplūkojuma neizslēdz. Lai šo ideju varētu realizēt arī pielietojumā diferenciālvienādojumiem, pieņemsim un aplūkosim vienādojumu

                                                                                         (2.2)

kopā ar vienādojumu pret inverso funkciju

                                                                                        (2.3)

Punktos, kur p(t,x)¹0 un q(t,x)¹0 vienādojumu (2.2) un (2.3) noteiktie vektoru lauki sakrīt. Punktos, kuros p(t,x)=0, q(t,x)¹0, vienādojums (2.2) nosaka horizontālo pieskares virzienu, bet vienādojums (2.3) lauka virzienus nenosaka.

Punktos, kuros p(t,x)¹0 un q(t,x)=0, vienādojums (2.3) nosaka vertikālo pieskares virzienu, bet vienādojums (2.2) lauka virzienus nenosaka.

Līdz ar to, apvienojot abu vienādojumu (2.2) un (2.3) noteiktos vektoru laukus, virzieni ir noteikti visos punktos, izņemot tos punktus, kuros vienlaicīgi p(t,x)= q(t,x)=0. Šādi iegūto vektoru lauku turpmāk sauksim par paplašināto vektoru lauku. Punktus, kuros p=q=0, sauc par singulāriem.

Definīcija 2.1.Līnijas, kuras katrā savā punktā pieskaras paplašinātā vektoru lauka vektoriem, sauc par vienādojuma (2.2) (arī (2.3)) integrāllīnijām.

Piemērā 2.2 koordinātu sākuma punkts (0,0) ir singulārs punkts, abas Ox ass pusasis ir vienādojuma integrāllīnijas, kuras nesakrīt ar atrisinājuma grafikiem.

Piezīme. Integrāllīniju atrašanai daudzos gadījumos nepietiek ar vienkārši blīvi uzzīmētu vektoru lauku. Būtiskas atrisinājumu izturēšanās nianses vienalga tā varam neievērot. Tāpēc ļoti svarīgs ir nākošais jēdziens.

Definīcija 2.2. Līniju, kuras punktos x’=c, sauc par vienādojuma (2.1) izoklīnu.

No definīcijas 2.2 izriet, ka izoklīnas var atrast no vienādojuma

                                        f(t,x)=c.                                                         (2.4)

Piemērā 2.2 izoklīnas sakrīt ar vienādojuma integrāllīnijām.

Piemērs 2.3. Vienādojuma

                                       

izoklīnas ir riņķa līnijas . Uz riņķa līnijas ar rādiusu r=2 x’=0, tātad šie ir iespējamie integrāllīniju ekstrēmu punkti. Ārpus šīs, t.s., 0-izoklīnas x’>0, tātad atrisinājumi ir augošas funkcijas, savukārt, , atrisinājumi dilst, jo x’<0. Līdz ar to var secināt, ka 0-izoklīnas punkti, kuriem t <0, ir atrisinājumu minimu punkti, bet t >0, tie ir maksimu punkti.

Vektoru lauks un integrāllīniju izturēšanās nelielā koordinātu sākuma

            Zīmējums 2.4

punkta apkārtnē parādīta zīmējumā 2.4.

Piemērs 2.4. Vienādojumam

                                              

uzzīmēsim integrāllīnijas, izpētot tikai atrisinājuma augšanas un dilšanas nosacījumus.

Tā kā x’>0, ja x>-2, tad visā šai pusplaknē atrisinājumi ir augošas funkcijas.

Pusplaknē x<-2 atrisinājumi ir dilstoši.

Taisnes x=-2 punktos integrāllīniju pieskares ir vertikālas.

Taisnes t=1 punktos x’=0, taču, ievērojot atrisinājuma augšanas nosacījumu x>-2 vai dilšanas x<-2, šie nav ekstrēmu punkti, bet ir pārliekuma punkti ar horizontālām pieskarēm.

Zīmējumā 2.5. redzams vienādojuma noteiktais vektoru lauks un zīmējumā 2.6 integrāllīniju izturēšanās plaknē. Vienīgi singulārā punkta (1,-2) apkārtnē vajadzīgs papildus pētījums.

Zīmējums 2.5                                    Zīmējums 2.6

3. Piemēri.

Ar diferenciālvienādojumu palīdzību var aprakstīt dažādus dabā norisošus procesus, kuriem ir svarīgi līdz ar kāda lieluma maiņu ievērot arī šīs maiņas ātrumu. Lielas grūtības parasti sagādā pati vienādojuma sastādīšana - reālajai situācijai atbilstoša matemātiskā modeļa izveidošana. Jāievēro, ka nevienu matemātisko modeli nav iespējams izveidot, nezinot konkrēto zinātņu - mehānikas, ķīmijas, bioloģijas, socioloģijas u.c. likumsakarības.

Apskatīsim dažus tradicionālus diferenciālvienādojumu sastādīšanas piemērus.

3.1. Vienkāršākais uzdevums, kurš noved pie diferenciālvienādojuma, ir uzdevums par ceļa s, laika t un ātruma v sakarību. Aplūkojot taisnvirziena kustību horizontālā plaknē . Ja ātrums ir zināma ceļa un laika funkcija v=f(t,s), iegūstam I kārtas diferenciālvienādojumu

                                             (3.1)

Ja f=const, vienādojums (3.1) apraksta vienmērīgu kustību, f=at vienādojums apraksta vienmērīgi paātrinātu kustību utml.

3.2. Aplūkosim kustību vertikālā plaknē - materiālā punkta brīvo krišanu. Vienīgo koordinātu asi Ox vērsīsim vertikāli uz augšu. Brīvo krišanu raksturo konstants paātrinājums, tāpēc iegūstam otrās kārtas vienādojumu

Punkta stāvokli patvaļīgā laika momentā fizikāli var noteikt, ja ir zināms punkta stāvoklis sākuma momentā x(0)=x₀ un ātrums sākuma momentā v(0)=v₀. Ievērojot, ka ātrums v=x’, divreiz integrējot un izmantojot sākuma nosacījumus, dabūjam .

3.3. Ja krītošo ķermeni nevar uzlūkot par materiālu punktu, jāņem vērā vēl citi spēki, ne tikai Zemes pievilkšanas spēks. Vienkāršotā variantā, ja varam uzskatīt, ka krišana vienalga notiek vertikāli, vismaz jāievēro berzes spēks. Ja uzskatām, ka berzes spēks ir proporcionāls krišanas ātruma kvadrātam, F_b=kv², pēc Ņūtona otrā likuma, sastādot vienādojumu, iegūstam:

                                               .

Šajā piemērā jau parādās vispārīgais princips, kā cenšamies sastādīt diferenciālvienādojumus, kuri apraksta mehānikas uzdevumus - diferenciālvienādojums izsaka darbojošos spēku vienādību, saglabāšanos. Atkarībā no spēka F iegūstam dažādus konkrētus uzdevumus.

3.4. Ja materiāls punkts ir piestiprināts pie absolūti elastīgas atsperes, ar x ir apzīmēta atvirze no atsperes līdzsvara stāvokļa, vienīgais darbojošais spēks F ir elastības spēks, kurš ir proporcionāls atvirzei un vērsts uz punkta līdzsvara stāvokli, vienādojums ir formā

mx”=-kx

Apzīmējot , dabūjam vienādojumu izskatā x”+w ²x=0         

Ievietojot viegli pārbaudīt, ka šī vienādojuma atrisinājums ir periodiska funkcija x(t)=A sin(wt+j ) ar patvaļīgām konstantēm A un j, kas raksturo attiecīgo svārstību amplitūdu un fāzu nobīdes leņķi.

3.5. Ja atsperi neuzskatām par absolūti elastīgu un ievērojam arī vienmēr esošo berzes spēku F_b, vienādojums kļūst sarežģītāks

mx”=-kx+F_b

Pirmajā tuvinājumā parasti pieņem, ka berzes spēks ir proporcionāls kustības ātrumam F_b=-bx’. Vienādojums

                                               mx”+bx’+kx=0

adekvāti apraksta atsperes kustību. Arisinājumu skat. turpmāk, 9.nodaļā.

3.6. Mehānikas kursā labi pazīstams ir arī tā saucamais matemātiskais svārsts: vertikālā plaknē pie neizstiepjama diega ar garumu l piestiprināta masas bumbiņa ar masu m. Diegs tiek atvirzīts no vertikālā līdzsvara par leņķi j. Zemes pievilkšanas spēka iespaidā bumbiņa sāk svārstīties. Procesu var aprakstīt ar Ņūtona 2 likumu, salīdzinot spēku lineārās (pa pieskari vērstās) komponentes. Ja atvirzes leņķis ir j, lineārais ātrums ir lj’, bet lineārais paātrinājums lj“.

                                             Zīmējums 3.1

Zemes pievilkšanas spēks ar lielumu mg vērsts vertikāli uz leju, pa pieskari vērstā šī spēku komponente – mg sinj. Līdz ar to matemātiskā svārsta kustību apraksta vienādojums

                                                lj“=– mg sinj.

Diemžēl, šī vienādojuma atrisinājumu ar elementārām funkcijām nevar izteikt. Svārsta kustības ilustrāciju skat. http://pineapple.apmaths.uwo.ca/~blair/pendulum.html. Atrisinājuma pētījumu skat. turpmāk, 13.nodaļā.

3.7. Mehānikas uzdevumi nebūt nav vienīgie, kuru aprakstam var izmantot diferenciālvienādojumus. Tipisks diferenciālvienādojuma lietojuma piemērs ir uzdevums par radioaktīvo sabrukšanu. Ar m(t) apzīmējam radioaktīvās vielas masu laika momentā t. Fizikāli zināms likums, ka radioaktīvās vielas sabrukšanas ātrums ir proporcionāls tās esošam daudzumam. Tā kā ātrumu raksturo funkcijas atvasinājuma vērtība, m(t) atrašanai iegūstam vienādojumu

                                               ,

kur a<0 ir sabrukšanas ātrumu raksturojošs proporcionalitātes koeficients, kurš ir apgriezti proporcionāls radioaktīvās vielas pussabrukšanas periodam. Ja sākuma momentā m(0)=m₀, iegūstam . Šo likumu izmanto, lai noteiktu radioaktīvo iežu vecumu.

3.8. Ja baktērijām pietiek gan barības, gan arī dzīves telpas, to vairošanās ātrums ir proporcionāls esošam baktēriju daudzumam. Ja apzīmējam y(t) baktēriju skaitu momentā t, baktēriju vairošanos varam raksturot ar iepriekšējā tipa vienādojumu

                                               y’=by,                                                              (3.2)

tikai šoreiz b>0. Ja y(0)=y₀, iegūstam, ka ideālos apstākļos baktērijas vairojas pēc eksponenciālā likuma . Jebkuram pozitīvam b eksponentfunkcija strauji pieaug, kas tikai liecina par to, ka tik labi apstākļi baktērijām ilgi pastāvēt nevar, šāds modelis ir derīgs tikai pietiekoši mazām y un t vērtībām.

3.9. Mazām y un t vērtībām vērtībām piemērā 3.8 y lomā var būt ne tikai baktērijas, bet arī jebkuras dzīvas populācijas īpatņi, ieskaitot pat cilvēkus. Statistiski konstatēts, ka līdz mūsu gadsimta 60-tajiem gadiem cilvēku skaits uz Zemeslodes pieauga tieši pēc eksponenciālā likuma (protams, ar pietiekoši mazu b). Taču jebkurai dzīvai populācijai resursu kādreiz pietrūkst un tās īpatņi sāk savā starpā konkurēt par dzīves telpu un barību.

Ja populācijas īpatņu savstarpējā konkurence izpaužas matemātiski visvienkāršākajā veidā - divu būtņu savstarpējās satikšanās rezultātā tās iet bojā, vairošanās likumu apraksta vienādojums

                                               ,                                              (3.3)

kur k un b ir atbilstoši proporcionalitātes koeficienti. (3.3) sauc par logistisko vienādojumu. No vienādojuma (3.3) varam secināt: tā kā,  tad šādām x vērtībām populācijas īpatņu skaits pieaug. Savukārt, , tas nozīmē, ka populācija jau ir pārsniegusi maksimāli iespējamo apmēru, kuru var uzturēt dotie resursi, tā samazinās. Vērtība  ir konstants vienādojuma atrisinājums, jo šajā gadījumā x’=0. Tā ir populācijas apmēra līdzsvara vērtība.

Zīmējums 3.2.

Zīmējumā 3.2 shematiski redzama populācijas attīstības prognoze atkarībā no sākotnējā apmēra. Šeit

3.10. Pieņemsim, ka kādā pilsētā dzīvo N iedzīvotāji. Pa radio no rīta paziņo kādu šiem iedzīvotājiem ļoti svarīgu ziņu. Noklausās radio ziņu tikai kāds noteikts skaits, piem., y₀ iedzīvotāju. Katrs zinošais iedzīvotājs, satiekoties ar nezinošo, centīsies tam jauno ziņu pastāstīt. Ja apzīmējam zinošo iedzīvotāju skaitu momentā t ar y (t), nezinošo tad ir N-y (t), un ziņas izplatīšanās ātrumu apraksta logistiskā tipa vienādojums

                                               .

Piezīme. Visos šajos piemēros tiek uzskatīts, ka dzīvo būtņu daudzums ir ļoti liels, to var uzlūkot par nepārtrauktu un nepārtraukti diferencējamu funkciju. Ja ievērojam, ka jebkuru dzīvu būtņu skaits ir diskrēts, uzskatām, ka to vairošanās ir sezonveida un ar y_n apzīmējam būtņu skaitu n-tajā sezonā, vienādojuma (3.2) vietā dabūjam, t.s., diferenču vienādojumu

                                               y_n+1=p y_n,                                                         (3.4)

no kurienes, ja y(0)=y₀, dabūjam . Tātad, ja proporcionalitātes koeficients p >1, tad , populācija pieaug, bet p <1, , tā samazinās.

Ja diskrētajā gadījumā ievērojam arī konkurenci, iegūstam logistiskā vienādojuma analogu

                                               y_n+1=q y_n(N-y_n).                                              (3.5)

Vienādojuma (3.5) atrisinājumi var būt jau ar daudz sarežģītāku struktūru kā vienādojuma (3.3) atrisinājumi, skat. piemēru 12.9.

3.11. Citu negaidītu diferenciālvienādojuma piemēru iegūstam, aplūkojot bankas noguldījuma pieaugumu, uzskatot, ka pieaugums ir nepārtraukts. Ja noguldījuma apjoms momentā t ir z(t), nepārtraukta pieauguma gadījumā dabūjam , no kurienes, kā piemērā 3.4, var secināt, ka noguldījums aug pēc eksponenciāla likuma. Ja turpretī dotajā valstī vai dotajā bankā ir uzlikti noguldījuma maksimālā apmēra “griesti” z=N, tad noguldījuma augšanu atkal raksturo logistiskais vienādojums .Arī šim uzdevumam var apskatīt tā diskrēto analogu.

3.12. Atgriežoties pie uzdevuma par dzīvu būtņu vairošanos, aplūkosim piemēru par divu dzīvu populāciju mijiedarbību, ja viena no šīm populācijām kalpo par barības avotu otrai. Ar x(t) apzīmēsim upuru skaitu momentā t, ar y(t) attiecīgi plēsoņu skaitu. Ja pieņemam, ka upuri ir zālēdāji, tiem barības pietiek, var uzskatīt, ka bez plēsoņām upuri vairojas pēc eksponenciāla likuma

                                               x’=ax

Savukārt, plēsoņas bez upuriem iztikt nevar, tie pēc eksponenciāla likuma izmirst

                                               y’=-cy.

Plēsoņu - upuru mijiedarbību ievērosim tā, ka uzskatīsim: savstarpējās satikšanās reizē plēsoņa iznīcina upuri un uz tā rēķina, būdams paēdis, var vairoties. Šādu sastapšanos biežums ir proporcionāls x un y reizinājumam. Līdz ar to iegūstam vienādojumu sistēmu ( visi koeficienti pozitīvi):

                                               x’=ax-bxy

                                               y’=-cy+kxy.                                                   (3.11)

(3.11) sauc par Volterra - Lotkas vienādojumu sistēmu [7,8,20 u.c.] Turpmāk, skat. piemēru 12.4, izpētīsim šīs sistēmas atrisinājumu izturēšanos. Izrādās, ka tai ir periodiski atrisinājumi, kuri ne pārāk ilgos laika periodos adekvāti var aprakstīt šādu divu sugu kopdzīves modeli.

4. Pirmās kārtas diferenciālvienādojumu elementārās atrisināšanas metodes

Pieņemsim, ka fC (G,R), G ÍR ² un apskatīsim vienkāršākās I kārtas vienādojumu

                                     (4.1)

atrisināšanas metodes. Risināšanas metodes ir būtiski atkarīgas no funkcijas f īpašībām, tāpēc izdalīsim dažādus atrisināmo vienādojumu tipus, uzliekot nosacījumus vienādojuma (4.1) labajai pusei.

1. Vienādojuma

                                                                                                                (4.2)

, atrisināšana reducējas uz primitīvās funkcijas atrašanu. Šo vienādojumu apmierina tās un tikai tās funkcijas, kurām

                                                                                                             .

Ja vienādojumam (4.2) ir dots sākuma nosacījums , atbilstošās Košī problēmas atrisinājumu ērtāk uzdot formā

                                                                                                                      (4.3)

Secinājumi:

·      katrai Košī problēmai vienādojumam (4.2) eksistē viens vienīgs atrisinājums visā t maiņas intervālā I;

·      vienādojuma (4.2) izoklīnas ir taisnes ,  un visas integrāllīnijas ir dabūjamas no jebkuras vienas, izdarot pārbīdi pa x asi.

2. Risinot vienādojumu (šo vienādojumu sauc par autonomu)

                                    ,                                       (4.4) jāšķiro divi gadījumi.

a) Ja visiem  , (4.4) var pārrakstīt formā

                                              

un risināt kā vienādojumu (4.2), uzlūkojot par meklējamo funkciju t:

          vai                                          ,                                  (4.5)

ja ir uzdots sākuma nosacījums .

b) Ja eksistē tāds , kuram , vienādojumam (4.4), acīmredzot, ir atrisinājums . Pārējos atrisinājumus nosaka tāpat formula (4.5).

Secinājumi.

·      Vienādojuma (4.4) izoklīnas ir taisnes ar vienādojumiem  un, ja , integrāllīnijas ir dabūjamas no jebkuras vienas, izdarot pārbīdi pa x asi.

·      Ja , taisne  ir vienlaikus vienādojuma (4.4) izoklīna un integrāllīnija.

·      Punktos, kuros , var nepastāvēt Košī problēmas atrisinājuma unitāte, t.i., caur šiem punktiem var iet vairākas vienādojuma (4.4) integrāllīnijas.

Piemērs 4.1. a) Vienādojumam  ir atrisinājums . Lai atrastu pārējos atrisinājumus,  , pārveidojam vienādojumu formā

                                              

un integrējam: . Tā kā , tikai , tad šim vienādojumam arī taisnes x=0 punktos pastāv atrisinājuma unitāte.

b) Arī vienādojumam  ir atrisinājums . Pārējo atrisinājumu atrašanai izsakām, :

                                               ,                                                       (4.6)

no kurienes, integrējot iegūstam:  . Acīmredzot, katram  , kad . Tas nozīmē, ka taisnes  punktos nepastāv Košī problēmas atrisinājuma vienīgums: Košī problēmai vienādojumam (4.6) ar nosacījumu  ir atrisinājums x=0, bet vēl arī bezgalīgi daudzi citi atrisinājumi formā

                                               .

c) Lai ģeometriski ilustrētu autonomo vienādojumu atrisinājumu izturēšanos, uzzīmēsim integrāllīnijas vienādojumam

                                                                                                     (4.7)

Zīmējums 4.1

Vienādojumam (4.7) ir taisnas integrāllīnijas x=kp "kÎZ. Intervālos xÎ]2n;2n+1[ sinx>0, tāpēc atrisinājumi ir augošas funkcijas, turpretī xÎ]2n-1;2n[, nÎZ, atrisinājumi ir dilstoši.  sinx pieņem attiecīgi maksimālo vai minimālo vērtību, tāpēc uz šīm taisnēm x”=0, un uz tām atrodas atrisinājumu grafiku pārliekuma punkti.

Izejot no (4.7), var secināt, ka vienādojumam x’=sin 2x viss zīmējums ir saspiests x ass virzienā divas reizes, vienādojumam x’=2sinx zīmējums saspiests t ass virzienā, vienādojumam x’=sin (x+2) grafiki pārbīdīti pa x asi par divām vienībām. Būtiski atšķirīgas ir vienādojuma x’=sin x+2 integrāllīnijas, jo šai gadījumā par 2 palielināts katrā punktā integrāllīnijas pieskares virziena koeficients, vienādojumam vairs nav taisno integrāllīniju, skat.,zīm.4.2.

                                              

                                               Zīmējums 4.2                                                

3. Vienādojumu

                                                                                                                    (4.8)

ar substitūciju

                                                                                                               (4.9)

var pārveidot par vienādojumu formā (4.4).

Ja , no (4.9) dabūjam , ko ievietojot vienādojumā (4.8), iegūstam:

                                    ,

kurš jau ir vienādojums formā (4.4). Vienādojuma (4.8) izoklīnas ir paralēlas taisnes ar vienādojumiem , visas integrāllīnijas dabūjam ar pārnesi šo taišņu virzienā no jebkuras vienas integrāllīnijas. Jāievēro, ka gadījumā a+bf(k+c)=0 taisnes ir reizē izoklīnas un integrāllīnijas, šo taišņu punktos atrisinājuma vienīgums var nepastāvēt.

                                               Zīmējums 4.3

Zīmējumā 4.3 redzamas vienādojuma

integrāllīnijas. Taisnes ar vienādojumiem x+t=c ir vienādojuma izoklīnas, savukārt, taisnes x+t=kp ir reizē izoklīnas un integrāllīnijas. Zīmējumā k=±1.

4. Pamattips, uz kuru cenšamies reducēt atrisināmos 1. kārtas diferenciālvienādojumus, ir vienādojumi izskatā

                                               (4.10)

kur f un g ir nepārtrauktas savu mainīgo funkcijas attiecīgi intervālos I un J. Šādu vienādojumu (4.10) sauc par vienādojumu ar atdalāmiem mainīgajiem. Vienādojuma (4.10) atrisināšanai pārveidojam to formā:

                                                                                              (4.11)

Ja g (x) 0 "xÎJ, no (4.10), atsevišķi integrējot katru vienādības pusi [16], attiecīgi ar F₁ un F₂ apzīmējot kreisās un labās puses primitīvās funkcijas, dabūjam:

                                               F₁(x)=F₂(t)+C.                                               (4.12)

Tā kā F₁ ir monotona funkcija, tai eksistē inversā funkcija F₁^-1, un no (4.12) principā varam izteikt vienādojuma (4.10) atrisinājumu

                                               x(t)=F₁^-1(F₂(t)+C).

Piezīme 4.1. Tā kā F₁^-1 atrašana praktiski ne vienmēr ir iespējama, ļoti bieži (4.10) kā arī citu vienādojumu atrisinājumus nākas atstāt neatklātā formā (4.12).

Ja eksistē tāds , kuram , vienādojumam (4.10), ir atrisinājums . Pārējos atrisinājumus, kā iepriekš, nosaka (4.12). Taisnes  punktos arī šoreiz var nepastāvēt atrisinājuma unitāte.

Piemērs 4.4. Vienādojuma

                                              

atrisināšanai atdalām mainīgos

                                               ,

integrējam un iegūstam .

Šoreiz ir iespējams atklāti izteikt atrisinājumu .

5. Vienādojumu

(4.13)

kur , sauc par homogēnu I kārtas vienādojumu. Šo vienādojumu var pārvērst par vienādojumu ar atdalāmiem mainīgajiem, lietojot substitūciju

                                               .                                                            (4.14)

No (4.14) secinām , ievietojot z vienādojumā (4.13), atdalot mainīgos un integrējot dabūjam:

                                                                                         (4.15)

Secinājumi.

·      Vienādojuma (4.13) izoklīnas ir taisnes x=kt, bet visas integrāllīnijas ir homotētiskas pret koordinātu sākuma punktu.

·      Ja kādas izoklīnas punktos f(k)=k, šī izoklīna ir vienlaikus arī integrāllīnija, taču tās punktos var nepastāvēt Košī problēmas atrisinājuma unitāte.

·      Praktiskai integrāllīniju uzzīmēšanai vispirms ieteicams atrast tieši šīs integrāllīnijas, kuru punktos f(k)=k, pēc tam uz pārējām izoklīnām salīdzināt f(k) un k vērtības, tādējādi pārbaudot, kurš vektors ir stāvāks - izoklīnas virziena vektors (k>f(k))vai lauka vektors (f(k)>k).

Piemērs 4.3. Vienādojumu  ar substitūciju  pārvēršam formā

                                               ,

no kurienes, atdalot mainīgos, iegūstam:

                                              

 un integrējot:

.

 Izsakot u (t) un atgriežoties pie sākotnējiem mainīgajiem, dabūjam

                                               .

Ievērojam, ka taisnes  ir reizē integrāllīnijas un izoklīnas.

Integrāllīniju grafiskam attēlam visērtāk rīkoties šādi:

tā kā visas izoklīnas ir taisnes ar vienādojumiem x=kt, atrodam pieskaru vektoru virziena koeficientus izoklīnu punktos

                                               .

Definējam  un pārbaudām, ka taišņu  punktos f(k)=k. Tātad šīs taisnes ir reizē izoklīnas un integrāllīnijas. Ja , tātad šo taišņu punktos integrāllīnijas ir stāvākas par izoklīnām, bet  Papildus ievērojot, ka t ass punktos, kur k=0, lauka vektori ir vertikāli, un to taišņu punktos, kur , f(k)=0 un lauka vektori ir horizontāli, varam uzzīmēt integrāllīniju saimi:

                                               Zīmējums 4.4.

                                              

                                               Zīmējums 4.5

Zīmējumā 4.4 parādīts piemēra 4.3 noteiktais vektoru lauks un dažas integrāllīnijas koordinātu sākuma punkta apkārtnē, zīmējumā 4.5 vairākas integrāllīnijas pirmajā kvadrantā.

2.6. Vienādojumu

                                               ,                                     (4.16)

 sauc par lineāru pirmās kārtas diferenciālvienādojumu. Tieši lineāri vienādojumi ir ļoti svarīgi savu lietojumu dēļ. Ja q¹0, vienādojumu (4.16) sauc par lineāru nehomogēnu vienādojumu, ja q=0, vienādojumu

                                                                                                    (4.17)

sauc par lineāru homogēnu vienādojumu. Vienādojums (4.17) ir vienādojums ar atdalāmiem mainīgajiem, tā atrisinājumu atrodam, atdalot mainīgos un integrējot

                                               ,

no kurienes . Ja intervālā I izvēlēts patvaļīgs punkts t₀, var izteikt , tātad                                       .                               (4.18)

Tā kā C=0 (4.18) nosaka arī atrisinājumu x=0, varam secināt, ka (4.18) ir vienādojuma (4.17) vispārīgais atrisinājums. Savukārt,  ir vienādojuma (4.16) partikulārs atrisinājums.

Sekas. Lineārā homogēnā vienādojuma (4.17) vispārīgais atrisinājums ir partikulārā atrisinājuma reizinājums ar patvaļīgu konstanti.

Lai atrisinātu lineāro nehomogēno vienādojumu (4.16), meklējam tā atrisinājumu formā (izdarām substitūciju)                        

                                               ,                                                    (4.19)

kur x₁ ir (4.17) partikulārais atrisinājums, bet u jauna meklējamā funkcija. Šo metodi sauc par konstantes variācijas metodi. Ievietojot (4.19) vienādojumā (4.16), dabūjam

                                               ,

no kurienes, ievērojot, ka x₁ apmierina (4.17), iegūstam

                                              

un                                                                   

Integrējot atrodam  un, ievietojot vienādībā (4.19), galīgi:

         (4.20)

Ja vienādojumam (4.16) ir dots sākuma nosacījums patvaļīgam t₀ÎI x(t₀)=x₀, no (4.20) viennozīmīgi atrodam Košī problēmas atrisinājumu, izvēloties C=x₀.

Sekas. 1. Vienādojumam (4.16) katrai Košī problēmai ir viens pats atrisinājums, kurš eksistē visā koeficientu nepārtrauktības intervālā.

2. Vienādojuma (4.16) vispārīgais atrisinājums ir summa, kuras pirmais saskaitāmais ir lineārā homogēnā vienādojuma (4.17) vispārīgais atrisinājums, bet otrs lineārā nehomogēnā vienādojuma (4.16) partikulārs atrisinājums.

Piezīme. Var pārbaudīt, ka ir spēkā arī apgrieztais apgalvojums: ja ir dota funkciju saime formā x=Cg+h, kur C patvaļīga konstante, g un h kopīgā intervālā nepārtraukti diferencējamas funkcijas, šī saime veido lineāra nehomogēna vienādojuma vispārīgo atrisinājumu; h=0 lineārais vienādojums ir homogēns.

Piemērs 4.4. Lai atrisinātu vienādojumu

                                               ,

vispirms atrisinām atbilstošo lineāro homogēno vienādojumu

                                               .

Dabūjam  un pilnajā vienādojumā izdarām substitūciju x=ut (aizstājam konstanti ar jaunu meklējamo funkciju). Ievietojot iegūstam:

                                               ,

no kurienes , savukārt, integrējot , un galīgi dabūjam .

Piemērs 4.5. Aplūkosim vienādojumu (4.17) gadījumā, kad p ir reāla konstante.

                                                                                             (4.21)

Lineārā homogēnā vienādojuma vispārīgais atrisinājums šoreiz ir izsakāms ar eksponentfunkciju x(t)=Ce^pt, tātad p>0, visi šie atrisinājumi, izņemot x=0, pēc moduļa neierobežoti aug, , p<0 turpretī visi atrisinājumi tiecas uz 0.

Ja q ir pietiekoši vienkārša funkcija, lineārā nehomogēnā vienādojuma (4.21) partikulāro atrisinājumu var atrast ar nenoteikto koeficientu metodi.

Aplūkosim konkrētu piemēru . Lineārā homogēnā vienādojuma  vispārīgais atrisinājums ir x(t)=Ce^-t, lineārā nehomogēnā vienādojuma atrisinājumu meklēsim kā otrās pakāpes polinomu ar nenoteiktiem koeficientiem . Acīmredzot,

                                              

un, ievietojot vienādojumā, pieprasīsim, lai funkcija x₁ to apmierina identiski: . No šejienes, salīdzinot koeficientus pie vienādām t pakāpēm abās vienādības pusēs, atrodam , tātad nehomogēnajam vienādojumam ir partikulārs atrisinājums , bet vispārīgais atrisinājums ir .

Zīmējumā 4.6 parādītas vienādojuma integrāllīnijas, redzams, ka tās visas, t pieaugot, strauji tuvojas atrisinājuma x₁ grafikam.

                        Zīmējums 4.6

Piezīme. Ja vienādojuma atrisinājuma forma nav izvēlēta pareizi, nevar atrast koeficientu vērtības.

7. Vienādojumu

                                               ,                                     (4.22)

kur p un q ir kopīgā intervālā nepārtrauktas funkcijas, aÎR, a¹0, a¹1, sauc par Bernulli tipa vienādojumu. Bernulli vienādojumu var atrisināt, to reducējot par lineāru nehomogēnu vienādojumu (4.16). Šim nolūkam izdalām vienādojuma (4.22) abas puses ar x^a, pieņemot, ka x¹0.

                                              

Ievedot jaunu meklējamo funkciju , dabūjam lineāru nehomogēnu vienādojumu .

Piezīme. Līdzīga risināšanas metode ir arī vienādojumiem formā       .

Funkcijas z lomā šoreiz derēs .

8. Vienādojumu , kur p, q, r, ir kopīgā intervālā nepārtrauktas funkcijas, , sauc par Rikati tipa diferenciālvienādojumu. Vispārīgā gadījumā Rikati tipa vienādojuma atrisinājumu nevar izteikt ar integrāļiem no elementārām funkcijām. Ja Rikati vienādojumam ir zināms viens partikulārs atrisinājums x₁, tad ar substitūciju  Rikati vienādojumu var reducēt par Bernulli vienādojumu. Diemžēl, nav metožu šo partikulāro atrisinājumu atrašanai vispārīgā gadījumā.

9. Pieņemsim, ka vienādojums dots simetriskā formā, nenorādot, kurš ir neatkarīgais mainīgais:

                                                                                (4.23)

kur šoreiz pieņemsim, ka f un g ir kopīgā plaknes apgabalā G nepārtraukti diferencējamas funkcijas. Ja eksistē apgabalā G divreiz nepārtraukti diferencējama funkcija F, kuras pilnais diferenciālis sakrīt ar vienādojuma (4.23) kreiso pusi

                                               ,

vienādojumu (4.23) sauc par vienādojumu pilnos diferenciāļos. Vienādojums (4.23) tādā gadījumā ir izskatā

                                               dF=0,

no kurienes secinām, ka (4.23) apmierina tās un tikai tās funkcijas, kuras nosaka vienādojums (algebrisks vai transcendents)

                                               F(x,y)=0.                                                         (4.24)

Līdz ar to (4.23) atrisināšana ir reducēta uz funkcijas F noteikšanu. Teorēma 4.1.Vienādojums (4.23) ir vienādojums pilnos diferenciāļos tad un tikai tad, ja izpildās nosacījums

                                                                                                   (4.25)

Ja funkcija F eksistē, tās otrās kārtas jauktie atvasinājumi ir vienādi, līdz ar to (4.25) nepieciešamība pierādīta.

Pieņemsim, ka izpildās (4.25), un pierādīsim funkcijas F eksistenci, šo funkciju konstruējot - tā arī ir vispārīgā gadījumā atrisināšanas metode. Meklējamai funkcijai diferenciāļa unitātes dēļ ir jābūt tādai, ka

                                                     (4.26)

Uzskatām (4.26) par vienādojumu sistēmu F atrašanai.

Pieņemsim,  ir izvēlēts konkrēts apgabala G punkts. No pirmā vienādojuma, integrējot pēc t un uzlūkojot x pagaidām par parametru, dabūjam . Ievērojam, ka patvaļīgās konstantes vietā F izteiksmē ieiet patvaļīga no x atkarīga funkcija. Lai F apmierinātu arī otru (4.26) vienādojumu, izsakām

un pieprasām , no kurienes, integrējot iegūstam

                                              

un funkcija F ir konstruēta

                                               .

Vienādojuma (4.25) vispārīgo atrisinājumu var uzdot formā

                                               .

Piemērs 4.6. Vienādojums  ir homogēns pirmās kārtas vienādojums. Pārveidojam to simetriskā formā

                                              

un redzam, ka , tātad vienādojums ir vienādojums pilnos diferenciāļos. Sagrupējot saskaitāmos, viegli atrast arī atbilstošo funkciju F. Pārveidojam vienādojumu tā, lai katrā vienādības pusē būtu pilns diferenciālis , no kurienes neatklātā formā varam izteikt atrisinājumu .

10. Ja vienādība (4.25) neizpildās, vienādojuma (4.23) atrisināšanai dažkārt ir noderīgs šāds paņēmiens. Meklēsim nepārtraukti diferencējamu divu mainīgo funkciju m apgabalā G, ar kuru pareizinot abas (4.23) puses, vienādojums kļūst par vienādojumu pilnos diferenciāļos. Šādu funkciju sauc par integrējošo reizinātāju. Tātad m jābūt tādai, ka apgabalā G izpildās vienādība

                                               .                                (4.27)

Ja šāda funkcija m ir atrasta, vienādojums mf(t,x)dt+mg(t,x)dx=0 ir vienādojums pilnos diferenciāļos, un tā risināšanai lietojama iepriekšējā punktā apskatītā metode. Diemžēl, (4.27) gan ir vienādojums, kuru apmierina integrējošais reizinātājs, taču praktiski no šī vienādojuma m atrast nevar.

Piemērs 4.7. Vienādojums

                                               ,                                     (4.28)

uzlūkojot tajā par meklējamo funkciju t, pārveidojot formā

                                               ,

ir Bernulli tipa vienādojums, un to var risināt, izdalot ar  un ieviešot jaunu meklējamo funkciju , lai iegūtu lineāru vienādojumu. Taču aplūkosim citu risināšanas paņēmienu. Pārveidosim (4.28) formā

                                               .

Redzam, ka iegūtā vienādojuma kreisā puse ir d(tx). Tādā gadījumā integrējošo reizinātāju var meklēt kā viena mainīgā funkciju m(tx). Izdalīsim abas vienādojuma puses ar . Iegūstam vienādojumu

                                               ,

no kurienes integrējot dabūjam atrisinājumu neatklātā formā              .

Piezīme. Daudz informācijas par diferenciālvienādojumu risināšanu ar paketes Mathematica 3.0 palīdzību ir grāmatā [6], taču tai pašā laikā daudzus vienādojumus, kuru atrisinājumus var izteikt ar elementārām funkcijām, matemātiskās programmu paketes Mathematica un Maple atsakās risināt.

5. Tuvinātie atrisinājumi

Diferenciālvienādojumu atrisināt atklātā veidā ar elementārām vai speciālām funkcijām var tikai atsevišķos gadījumos, taču bieži vajadzīga kaut vai tuvināta informācija par atrisinājuma skaitliskām vērtībām. Šādam nolūkam ir ieviests tuvinātā atrisinājuma jēdziens un izstrādātas daudzas skaitliskās risināšanas metodes.

Pieņemsim GÍR², fÎC (G,R).

Aplūkosim vienkāršāko I kārtas diferenciālvienādojumu

                                               .                                                 (5.1)

Tā kā vienādojuma (5.1) precīzais atrisinājums nav zināms, nevar definēt tuvināto atrisinājumu, prasot, lai precīzā un tuvinātā atrisinājuma vērtības visos punktos atšķiras pietiekoši maz.         

Definīcija5.1 Par diferenciālvienādojuma (5.1) tuvināto atrisinājumu ar precizitāti e³0 t maiņas intervālā I sauc nepārtraukti diferencējamu funkciju j :I®R , kurai "tÎI izpildās īpašības:

                                                        (5.2)

Ja vienādojumam (5.1) dots sākuma nosacījums x(t₀)=x₀, prasām, lai šo nosacījumu funkcija j  apmierina precīzi.

Ļoti reti izdodas panākt, lai tuvinātais atrisinājums, kuru atrod ar skaitliskām metodēm būtu nepārtraukti diferencējama funkcija. Tāpēc vispārināsim definīciju 5.1, definējot tuvinātos atrisinājumus gabaliem diferencējamu funkciju klasē.

Pieņemsim , kur I_j =[a_j;b_j] , j=0,1,…,m, pie kam a_j=b_j-1, j=1,…,m, un nepārtrauktā funkcija j katrā no intervāliem I_j ir nepārtraukti diferencējama.

Definīcija5.2. Gabaliem diferencējamu funkciju j sauc par diferenciālvienādojuma (5.1) tuvināto atrisinājumu ar precizitāti e t maiņas intervālā I, ja "tÎI izpildās īpašības:

1.      (t, j (t)) ÎG;

2.      visos j diferencējamības punktos t Î]a_j;b_j[ izpildās nosacījums (5.2);

3.      intervālu I_j galapunktos a_j un b_j nosacījumu (5.2) apmierina attiecīgi vienpusīgie atvasinājumi no labās un kreisās puses.

Tuvināto atrisinājumu ar precizitāti e turpmāk sauksim par e-tuvināto atrisinājumu.

Aplūkosim vienu no vienkāršākajām tuvinātā atrisinājuma atrašanas metodēm.

Eilera metode.

Pieņemsim, ka vienādojumam (5.1) tuvināti jāatrod atrisinājums, kurš apmierina nosacījumu x(t₀)=x_0. Ģeometriski tas nozīmē, ka jāatrod integrāllīnija, kura iet caur punktu (t₀, x₀). Mazā šī sākuma punkta apkārtnē aizstāsim meklējamo integrāllīniju ar tās pieskari, tātad meklējamo atrisinājumu ar lineāru funkciju. Apzīmējot ar j konstruējamo funkciju, definējam to t ³t_0.

                                               j(t):=x₀+f(t₀,x₀)(t-t₀)            tÎ[t₀;t₁].

Šādi definējot, funkcijas j grafiks punktā (t₀,x₀) pieskaras meklējamai integrāllīnijai. Vērtība t₁ jāizvēlas atkarībā no vajadzīgās precizitātes.

Turpinājumā apzīmēsim x₁:= j(t₁) un atkārtosim konstrukciju, tagad par sākuma punktu uzskatot (t₁,x₁), līdz nākošajai izvēlētajai vērtībai t₂:

                                             j(t):= x₁+f(t₁,x₁)(t-t₁) tÎ[t₁;t₂].

                                                         Zīmējums 5.1

Ievērosim, ka, šādi konstruējot, j grafiks punktā (t₁,x₁) pieskaras tai integrāllīnijai, kura iet caur šo punktu un vispārīgā gadījumā nepavisam nesakrīt ar sākotnējās Košī problēmas atrisinājuma grafiku. Turpinām konstrukciju, nākošreiz par sākuma punktu izvēloties (t₂,x₂) utt. Vispārīgā Eilera metodes formula tÎ[t_k-1;t_k]:

                                             j(t):= x_k-1+f (t_k-1,x_k-1)(t - t_k-1).                        (5.3)

Protams, pagaidām nav nekādas garantijas, ka pēc formulas (5.3) konstruētā funkcija ir vienādojuma (5.1) tuvinātais atrisinājums definīcijas 5.1 vai 5.2 nozīmē. Tāpat absolūti nav saprotams, kādā t ass intervālā, t.i., kādā punkta (t₀,x₀) apkārtnē funkciju j  ir iespējams konstruēt. Diezgan skaidrs vienīgi tas, ka kaut cik pieņemamu tuvinājumu var dabūt tikai pietiekoši tuvu izvēloties intervāla dalījuma punktus t₁,t₂,…,t_k. Atbildi uz šādiem jautājumiem daļēji dod nākošā teorēma.

Teorēma 5.1. Pieņemsim

 un f ir taisnstūrī W nepārtraukta funkcija. "e>0 Košī problēmai      

                                                        

intervālā I=[t-a;t+a], kur a=min(a,bM^-1), M=maxçf(t,x)ç, eksistē gabaliem lineārs e-tuvinātais atrisinājums, kuru var konstruēt ar Eilera metodi.

Teorēmas pierādījumu iegūstam, pēc dotā e pietiekoši sīkās daļās sadalot intervālu I. Detalizētu pierādījumu skat., piem.[3,15].

Piezīmes. 1. Funkcijas f definīcijas apgabals var būt arī vaļējs plaknes apgabals vai visa plakne R². Taisnstūri W tādā gadījumā izvēlamies kā punkta (t₀,x₀) apkārtni.

2. Intervāla I izvēle ar a=min(a,bM^-1), M=maxçf(t,x)ç, teorēmas apgalvojumā ir nosacīta ar šādu apsvērumu: pieņemsim, ka vienādojuma (5.1) labā puse ir konstanta f(t,x)=M . Vienādojuma integrāllīnija, kura iet caur punktu (t₀,x₀), ir taisne ar vienādojumu x=x₀+M(t-t₀). Atkarībā no M vērtības, tātad slīpuma, šī taisne iziet no taisnstūra W vai nu, krustojot vertikālo malu, t=t₀+a, ja a^-1, vai arī, krustojot augšējo horizontālo malu x=x₀+b punktā t=t₀+bM ^-1, ja bM ^-1<a.

3. Praktiski lietojot Eilera metodi, parasti intervālu sadalām m vienādās daļās, izvēloties soli h:=t_k-t_k-1, k=1,…,m.

Pieņemsim, ka funkcija f ir apgabalā G nepārtraukti diferencējama un Košī problēmai vienādojumam (5.1) eksistē atrisinājums y. y tādā gadījumā ir divreiz nepārtraukti diferencējama funkcija. Pēc Teilora formulas funkcijai y punkta t₀ apkārtnē iegūstam

             

Novērtējam starpību starp precīzo atrisinājumu y un Eilera tuvināto atrisinājumu j intervālā [t₀;t₁]:

                            .

Šādā gadījumā saka, ka pirmajā dalījuma intervālā kļūda ir ar kārtu h².Taču, aplūkojot visā intervālā [t₀;t_m], kļūda ir O(h). Ievērosim, ka gadījumā, kad funkcija f ir atkarīga tikai no t, Eilera metodes lietošana ir līdzvērtīga integrāļa tuvinātai atrašanai ar pašu vienkāršāko metodi – taisnstūra metodi, izvēloties dalījuma punktus dalījuma intervālu kreisajos galapunktos. Tik pat labi kā integrāļu tuvinātai atrašanai ir daudz sarežģītākas un precīzākas metodes, arī diferenciālvienādojumu tuvinātai atrisināšanai ir iespējamas daudz efektīgākas metodes.

Par skaitlisko metožu lietojumiem skat., piem.[6,8,9 u.c.]

6. Košī problēmas atrisinājuma eksistence un unitāte.

1.      Eksistence.

Lai gan iepriekš aplūkotajos piemēros visiem vienādojumiem ir atrisinājumi, pirmais no svarīgākajiem diferenciālvienādojumu teorijas jautājumiem ir jautājums par Košī problēmas

                                                                                  (6.1)

atrisinājuma eksistenci vispārīgajā gadījumā.

Teorēma 5.1 apgalvo, ka nepārtrauktas funkcijas f gadījumā Košī problēmai eksistē tuvinātais atrisinājums ar patvaļīgi labu precizitāti e>0, taču no tā vēl neizriet precīzā atrisinājuma eksistence.

Atrisinājuma eksistences pietiekamos nosacījumus dod nākošā teorēma.

Teorēma 6.1. ( Peano). Ja G ir plaknes apgabals (vaļēja kopa), fÎC(G,R), katram (t₀,x₀)ÎG ir tāda apkārtne, kurā Košī problēmai (6.1) eksistē atrisinājums.

Piezīmes. 1. Teorēmas apgalvojumu var pamatot [16], izvēloties (e_n) virkni, e_n>0, e_n®0, n®¥, konstruējot atbilstošo Eilera tuvinājumu virkni (j_n) un pierādot, ka virkne j_n vienmērīgi konverģē uz (6.1) precīzo atrisinājumu.

2. Teorēma 6.1 bez izmaiņām ir spēkā arī gadījumā, ja f:GÍRⁿ⁺¹®Rⁿ.

Piemērs 6.1.

a)     Kā liecina Košī problēma

                                              

ar atrisinājumu x=0, teorēmas 6.1 prasība par funkcijas f nepārtrauktību nav nepieciešama atrisinājuma eksistencei. Zīmējumā 6.1 parādīta Košī problēmas integrāllīniju saime.

            Zīmējums 6.1

b) Iepriekš aplūkotais piemērs 4.1 b)

                                  

parāda, ka funkcijas f nepārtrauktība vēl negarantē Košī problēmas atrisinājuma unitāti.

2. Unitāte.

Lai varētu apgalvot, ka Košī problēmai nav vairāk par vienu atrisinājumu, funkcijai f vajag uzlikt dažādus papildus nosacījumus. Visbiežāk lietotais ir šāds.

Definīcija 6.1. Teiksim, ka funkcija f: GÍR ²®R apgabalā G apmierina Lipšica nosacījumu pēc x, ja eksistē tāda konstante L³0, ka katram punktu pārim (t,x’), (t,x”)ÎG izpildās novērtējums .

Piezīmes. 1. Lipšica nosacījums ierobežo funkcijas f augšanas ātrumu x ass virzienā ar lineārās funkcijas Lx augšanas ātrumu. Lieliem x (x®¥) šo nosacījumu neapmierinās funkcijas x^µ, µ>0, maziem x, x®0, x^µ, 0<µ<1

2. Lipšica nosacījums liecina, ka funkcija f šai gadījumā pēc mainīgā x ir nepārtraukta (vienmērīgi).

3. Ja f ir nepārtraukti diferencējama viena mainīgā x funkcija intervālā [a;b], no Lagranža galīgo pieaugumu formulas secinām, ka f apmierina Lipšica nosacījumu:

" [x’;x”]Í [a;b] izpildās

Apzīmējot L=maxçf ’(x)ç, xÎ[a;b], " x’,x” Î[a;b] iegūstam .

4.Vispārinot 3. punktā minēto, iegūstam: ja funkcijai f apgabalā G eksistē ierobežots atvasinājums pēc x, tad f pēc x šai apgabalā apmierina Lipšica nosacījumu un

                       

Piemērs 6.2. Funkcija  ir piemērs nediferencējamai funkcijai

                        Zīmējums 6.2

(punktā x=0), kura apmierina Lipšica nosacījumu, jo " x’;x” izpildās

                                               .

Definīcija 6.2. Teiksim, ka funkcija f: GÍR ²®R apgabalā G apmierina lokālu Lipšica nosacījumu pēc x, ja tā apmierina Lipšica nosacījumu pēc x katrā kompaktā (slēgtā, galīgā) G apakškopā.

Teorēma 6.2 (Pikāra) Ja f :GÍR ²®R, G ir apgabals, f ir apgabalā G nepārtraukta un apmierina lokālu Lipšica nosacījumu pēc x, tad katram G iekšējam punktam (t₀;x₀) ir tāda apkārtne, kurā Košī problēmai (6.1) eksistē viens vienīgs atrisinājums.

Piezīmes. 1. Visbiežāk teorēmu pierāda ar pakāpenisko tuvinājumu metodi [17,16 u.c.] Cita pierādījuma metode, kura izmanto metrisko telpu teorijas pamatidejas izmantota, piem.,[21].

2. Ievērosim, ka f nepārtrauktības dēļ atrisinājuma eksistence izriet no teorēmas 6.1, bet atrisinājuma unitāti pamatosim nedaudz vēlāk (lemma 7.3). Šāds spriedums ir gluži korekts, vienīgi teorēmas 6.1 pierādījums matemātiski ir daudz sarežģītāks par neatkarīgu teorēmas 6.2 pierādījumu.

Praktiskiem lietojumiem parasti pietiks ar šādu, vieglāk pārbaudāmu, apgalvojumu.

Teorēma 6.3. Ja f ir apgabalā G nepārtraukti diferencējama, tad katram G iekšējam punktam (t₀;x₀) ir tāda apkārtne, kurā Košī problēmai (6.1) eksistē viens vienīgs atrisinājums.

Piemērs 6.3. a) Funkcija f(x)=x² ir nepārtraukti diferencējama visiem x, taču apmierina tikai lokālu Lipšica nosacījumu, jo çf’(x)ç£L, ja çxç£0.5L. Atbilstoši tam Košī problēmai

                                              

punkta (0,1) apkārtnē eksistē viens vienīgs atrisinājums , taču šis atrisinājums eksistē tikai pa labi ierobežotā intervālā ]-¥;1[.

b)    

Noteiksim apgabalus, kuros caur katru punktu iet viena vienīga vienādojuma  integrāllīnija. (Zīmējums 6.3)

Funkcija vienādojuma labajā pusē ir nepārtraukta un tai eksistē nepārtraukts atvasinājums visos plaknes punktos, izņemot taisni x=t. Pēc teorēmas, izvēloties sākuma punktu ārpus šīs taisnes, Košī problēmas atrisinājuma eksistence un arī unitāte ir garantētas. Taisne x=t pati ir vienādojuma integrāllīnija, taču tās punktos nepastāv atrisinājuma vienīgums, pārējās integrāllīnijas šīs taisnes punktos tai pieskaras.

Visas minētās teorēmas 6.1,6.2,6.3 ir ar lokālu raksturu – tās apgalvo, ka atrisinājums eksistē tikai kaut kādā sākuma punkta apkārtnē. Arī piemērs 6.3. parāda, ka jautājums par atrisinājuma eksistences intervālu prasa atsevišķu pētījumu.

3. Turpināmība.

Definīcija 6.3. Pieņemsim, ka j ir vienādojuma (6.1) atrisinājums, kurš eksistē intervālā ½a;b½, kur ½.;.½apzīmē vaļēju vai slēgtu intervālu, bet y ir tā paša vienādojuma atrisinājums, kurš eksistē intervālā ½d ;g½. Teiksim, ka atrisinājums y ir atrisinājuma j turpinājums pa labi (kreisi), ja ½a;b½½d;g½¹Æ, g >b (d<a) un "t νa;b½½d ;g½ j (t)= y (t).

Definīcija 6.4. Ja atrisinājumam j neeksistē turpinājums ne pa labi, ne pa kreisi, šo atrisinājumu sauc par neturpināmu, bet tā eksistences intervālu par maksimālo eksistences intervālu.

Protams, daudzos gadījumos svarīgi ir atrast tieši maksimālo atrisinājuma eksistences intervālu.

Turpmāk, atsevišķi neatrunājot, uzskatīsim, ka vienādojuma (6.1) labās puses f eksistences kopa G ir apgabals (vaļēja kopa) un vienādojumam (6.1) izpildās teorēmas 6.3 vai 6.2 nosacījumi, kas garantē Košī problēmai atrisinājuma eksistenci un vienīgumu.

Teorēma 6.4. Katra vienādojuma (6.1) atrisinājuma maksimālais eksistences intervāls ir vaļējs.

Pierādījums. Pieņemsim, ka atrisinājuma j maksimālā eksistences intervāla labais galapunkts b pieder šim intervālam. Tādā gadījumā (b,j (b )) ÎG, jo G ir vaļēja kopa. Tad pēc teorēmas 6.2 vienādojumam (6.1) ar nosacījumu x (b)=j (b) ir tieši viens atrisinājums j₁, kurš eksistē arī pa labi no punkta b. Kopīgajā intervālu daļā j(t)= j₁(t), tātad atrisinājums j₁ ir j turpinājums pa labi, kas ir pretrunā ar pieņēmumu par j neturpināmību.

Teorēma6.5. Katrai Košī problēmai eksistē viens vienīgs neturpināms atrisinājums.

Pierādījumam aplūkojam visu iespējamo atrisinājumu saimi, uzskatot par atšķirīgiem atrisinājumus, kuru eksistences intervāli atšķiras. Šādā nozīmē Košī problēmai var būt bezgalīgi daudzi atrisinājumi. Neturpināmu atrisinājumu var konstruēt, apvienojot visus šos atrisinājumus, intervālā, kura kreisais galapunkts ir visu atrisinājumu eksistences intervālu kreiso galapunktu infīms, bet labais galapunkts attiecīgi eksistences intervālu labo galapunktu suprēms. Tā kā katrā punktā izpildās atrisinājuma unitātes nosacījums, arī šādi izveidotais atrisinājums ir viens vienīgs [Pont].

Teorēma 6.6. Vienādojuma (6.1) atrisinājums j, kurš eksistē intervālā ]a;b [, nav turpināms pa labi tad un tikai tad, ja izpildās vismaz viens no nosacījumiem:

1)  b=+¥;

2)  t®b-0, ½j (t)½® ¥;

3)  t®b-0, punkti (t, j (t)) tiecas uz apgabala G robežu.

Teorēmas pierādījumu skat. [16]

Piemēri 6.4. 1) Košī problēmai x’=x x (0)=1 neturpināms atrisinājums x(t)=e^t eksistē visiem t. Šai gadījumā b=+¥.

2) Problēmai x’=x ², x (0)=1 piemērā 6.3 realizējas gadījums t®b-0, ½j (t)½®¥, b=1.

3) Problēmai  neturpināms atrisinājums ir . Šī atrisinājuma maksimālais eksistences intervāls ]-¥;1[. Labais galapunkts t=1 intervālam nepieder, jo t®1-0, x®0, bet x=0 ir vienādojuma labās puses eksistences apgabala robeža.

Piemērs 6.5. Pārbaudīsim, ka Košī problēmai x’=t-x², x(t₀)=0, katram t₀>0 atrisinājums eksistē vismaz intervālā [t₀;+¥[.

Parabolas x²=t punktos x’=0, tātad šie ir iespējamie atrisinājumu ekstrēmu punkti. Pa labi no parabolas, t>x², atrisinājumi ir augošas funkcija, jo x’>0. Tieši šie arī ir aplūkojamie atrisinājumi. Tā kā vienādojuma labās puses eksistences apgabals ir visa plakne, apgabalam robežas nav un teorēmas 6.6 trešais gadījums nevar realizēties. Pieņemsim, ka eksistē atrisinājums j un b<+¥, tādi, ka t®b-0, ½j (t)½®¥. Tad eksistē arī t₁<b tāds, ka t=t₁ atrisinājuma j grafiks krusto parabolu t=x². Taču šīs parabolas punktos x’=0, un virs parabolas atrisinājumi jau ir dilstoši, kas ir pretrunā ar atrisinājuma neierobežoto augšanu. Tātad pēc teorēmas 6.6 katrs aplūkojamais atrisinājums eksistē pa labi visiem t.

                                                  Zīmējums 6.4.

4. Vispārinājumi.

4.1. Pieņemsim, ka x ir n-dimensionāla vektorfunkcija x=colon (x₁,x₂,…x_n), f: GÍRⁿ⁺¹®Rⁿ.

n- tās kārtas diferenciālvienādojumu sistēmai (vektoriālā pierakstā)

                                               

ir spēkā atbilstošie teorēmu 6.1, 6.2, 6.3, kā arī 6.4, 6.5 analogi. Arī pierādījumu idejas vektoriālā gadījumā ir tās pašas.

Teorēma 6.7 (Peano). Ja f:G ÍRⁿ⁺¹®Rⁿ un f ir apgabalā G nepārtraukta, "(t₀;x₀)ÎG ir tāda apkārtne, kurā Košī problēmai (6.1) eksistē vismaz viens atrisinājums.

Pierādīt teorēmu var arī ar Eilera metodes n -dimensionālo analogu. Citu pierādījumu var atrast [18]

Lai formulētu teorēmu, kura garantē arī Košī problēmas atrisinājuma unitāti, ievedam Lipšica nosacījuma jēdzienu vektorvērtīgai funkcijai.

Definīcija 6.5. Teiksim, ka funkcija f: GÍRⁿ⁺¹®Rⁿ apgabalā G apmierina Lipšica nosacījumu pēc x, ja eksistē tāda konstante L ³0, ka "(t,x¹),(t,x²)ÎG ir spēkā novērtējums

.                                          (6.2)

Lai praktiski pārbaudītu nosacījumu (6.2), pietiek pārbaudīt, ka Lipšica nosacījumu apmierina katra funkcijas f komponente

,

pie kam vektora normaslomā var izmantot jebkuru no analīzes kursa zināmo vektora normu - Eiklīda, maksimuma utml.

Visbiežāk praksē sastopamās situācijās izmantojam faktu, ka Lipšica nosacījums pēc x ir izpildīts, ja eksistē un ir ierobežoti visi f_i parciālatvasinājumi , i,j =1,…n, un max L_ij =L.

Teorēma 6.8. Ja f: G ÍR ⁿ⁺¹®R ⁿ, G ir apgabals, fÎC(G, R), f apmierina apgabalā G lokālu Lipšica nosacījumu pēc x, "(t₀,x₀) ÎG ir tāda apkārtne, kurā Košī problēmai (6.1) eksistē viens vienīgs atrisinājums.

Teorēmas pierādījums tāds pats kā teorēmai 6.2

4.2. Pēc lemmas 1.1 n-tās kārtas diferenciālvienādojums

, ,

ir līdzvērtīgs diferenciālvienādojumu sistēmai (1.9). Līdz ar to atrisinājuma eksistences un unitātes teorēmu šim gadījumam var pārfrazēt no teorēmas 6.8.

Teorēma 6.9. Ja f:GÍRⁿ⁺¹®R, fÎC¹(G,R), "(t₀,x₀,x₁,…,x_n-1)ÎG ir tāda apkārtne, kurā Košī problēmai

eksistē viens vienīgs atrisinājums.

Piemērs 6.6. Ja f ir nepārtraukti diferencējama funkcija, vienādojumam x’=f(t,x) gadījumā n=1 caur katru plaknes apgabala punktu iet viena vienīga integrāllīnija, tās nevar savā starpā ne krustoties, ne arī pieskarties. Turpretī jau gadījumā n=2 integrāllīnijas savā starpā krustojas, caur katru punktu iet bezgalīgi daudzas integrāllīnijas, taču tās nevar savā starpā pieskarties. Piem., zīmējumā 6.5 parādītas integrāllīnijas vienādojumam x”=-x.

                   Zīmējums 6.5

 7.Atrisinājumu atkarība no mainīgām sākuma vērtībām un parametriem.

1. Nevienādības.

Teorēma 7.1 (Čapligina). Pieņemsim, ka f, g:GÌR²®R, f,gÎC(G,R) un "(t,x)ÎG izpildās

f(t,x)£g(t,x)                                                     (7.1)

Pieņemsim, ka j ir Košī problēmas

,                                     (7.2)

atrisinājums, bet y ir problēmas   

                              (7.3)

atrisinājums, pie kam abi atrisinājumi eksistē kopīgā intervālā I. Tādā gadījumā " t³t₀ izpildās j(t) £y(t). [2,9,11]

Teorēmu pierādīsim vienkāršākajā gadījumā, kad nosacījumā (7.1) izpildās stingra nevienādība. Tad arī j(t) <y(t), t>t₀.

Šajā gadījumā j’(t₀)=f (t₀,j(t₀))(t₀,y(t₀))= y’(t₀),tāpēc eksistē tāds t₁>0, ka "tÎ]t₀; t₁] j(t)<y(t). Pieņemsim: $t₂>t₁ tāds, ka j(t₂)=y(t₂). Tas var realizēties tikai tad, ja

j’(t₂)=f (t₂,j(t))³g(t₂,y(t₂))=y’(t₂),

kas ir pretrunā ar nosacījumu (7.1).

Vispārīgā gadījumā pierādījumu skat. [11]

Piemērs 7.1. Novērtēsim t³0 Rikati vienādojuma

                                               x’=x²+t²                                                        (7.4)

atrisinājumu j, kurš apmierina nosacījumu x(0)=1.

Tā kā x²+t²³x², tad j vērtības nav mazākas par problēmas

x’=x², x(0)=1                                     (7.5)

atrisinājuma vērtībām. Problēmas (7.5) atrisinājums ir , tas eksistē pa labi intervālā [0;1[. Tā kā , atrisinājums j eksistē pa labi ne tālāk kā intervālā [0;1[. Līdz ar to varam uzskatīt, ka

                                               x²+t²<1+x²

un novērtēt vienādojuma (7.4) atrisinājumu j no augšas, salīdzinot to ar Košī problēmas

                                               x’=1+x²

                                               x(0)=1                                                           (7.6)

atrisinājumu. (7.6) atrisinājums ir , tas eksistē pa labi . Tātad  un atrisinājums j eksistē pa labi intervālā [0;b[, kur .

                                               Zīmējums 7.1.

Lemma 7.1 (Gronuolla). Pieņemsim, ka u,v:[a;b]®R₊, u,vÎC([a;b],R₊), t₀Î]a;b[, u₀³ 0, un " tÎ[a;b] izpildās nevienādība

.                                 (7.7)

Tādā gadījumā "tÎ[a;b] ir spēkā novērtējums

                                         (7.8)   

pie kam u₀=0 Þ u=0.[18,19 u.c.]

Pierādīsim lemmu gadījumā t³t_0.  Ja u₀>0, pierādījumu iegūstam, definējot nepārtraukti diferencējamu funkciju ,

F(t)³ u(t), F(t)>0, .

Tā kā

integrējot iegūstam .

Ja nevienādībā (7.7) u₀=0, aizstājam (7.7) ar nevienādību

                                                                          (7.9)

patvaļīgam C>0, pēc tikko pierādītā dabūjam

                                                                                (7.10)

Izdarot robežpāreju nevienādībā (7.10), C®0, iegūstam vajadzīgo.

Piezīme. Lemma 7.1 faktiski izsaka, ka lineāru homogēnu diferenciālvienādojumu aizstājot ar atbilstošu nevienādību, arī atrisinājumiem ir spēkā tāda pati nevienādība.

Līdzīgā veidā var pierādīt arī šādu integrālu nevienādību.

Lemma 7.2. Pieņemsim, ka dotas konstantes, m³0 un k >0, nepārtraukta funkcija u: [0;b] ®R₊ apmierina tÎ[0;b] nosacījumu

                               

Tādā gadījumā tÎ[0;b] izpildās

                                                                         

Abu minēto lemmu apgalvojumi ir palīglīdzekļi, kuri no vienas puses atļauj spriest par dažādu diferenciālvienādojumu atrisinājumu vienlaicīgu izturēšanos, ļauj novērtēt atrisinājumu eksistences intervālus, kā arī var tikt izmantoti dažu teorētisku apgalvojumu pierādīšanai.

Nākošā lemma jau pati par sevi dod daudz informācijas par diferenciālvienādojuma atrisinājumiem.

Lemma 7. 3 (par tuvināto atrisinājumu starpību). [15] Pieņemsim, ka f:GÍR²®R, f ir apgabalā G nepārtraukta funkcija, kura pēc x šai apgabalā apmierina Lipšica nosacījumu ar konstanti L¹0. Pieņemsim, ka punkti (t₀,x₁), (t₀,x₂) ir apgabala G iekšēji punkti, j₁ ir Košī problēmas

                                      x’=f(t,x), x(t₀)=x₁                                         (7.11) tuvinātais atrisinājums ar precizitāti e₁³0, j₂ ir problēmas

x’=f(t,x),         x(t₀)=x₂                                  (7.12) tuvinātais atrisinājums ar precizitāti e₂³0, pie kam abi tuvinātie atrisinājumi eksistē kopīgā intervālā I. Tādā gadījumā visiem tÎI ir spēkā novērtējums

           (7.13)

Pierādījums. Vienkāršības dēļ pieņemsim t₀=0 un t³t₀.

Pēc tuvinātā atrisinājuma definīcijas

çj₁’(t)-f(t,j₁(t))ç£e₁

çj₂’(t)-f(t,j₂(t))ç£e₂.

Tādēļ                  çj₁’(t)- j₂’(t)ç£e₁+e₂+Lçj₁(t)-j₂(t)ç.                         (7.14)

Apzīmējot j₁-j₂=:j, e₁+e₂=:e, pārrakstām (7.14):

                                               çj’(t)ç£ e+Lçj(t)ç,

no kurienes, izmantojot trijstūra nevienādību un integrējot, dabūjam

                   .

Pielietojot lemmu 7.2 funkcijai çj(t)-j(0)ç, secinām

                   ,

no kurienes, vēlreiz izmantojot trijstūra nevienādību, dabūjam vajadzīgo.

Sekas. 1) Ja e₁=e₂=0 un x₁=x₂, j₁ un j₂ ir vienas un tās pašas Košī problēmas precīzie atrisinājumi. No nevienādības (7.13) iegūstam Košī problēmas atrisinājuma unitātes pierādījumu.

2) Ja x₁=x₂, e₁=0, j₁ ir precīzais arisinājums, j₂ tuvinātais ar precizitāti e₂, varam novērtēt starpību starp tuvinātā un precīzā atrisinājuma vērtībām.

3) Pieņemsim e₁=e₂=0. Ja abu atrisinājumu kopīgais eksistences intervāls ir slēgts un galīgs, eksistē tāds K>0, ka  un

                                      çj₁ (t)- j₂(t)ç£Kçx₁-x₂ç                               (7.14)

2. Atrisinājuma atkarība no mainīgām sākuma vērtībām.

Turpmāk uzskatīsim j₁ un j₂ par vienādojuma x’=f(t,x) precīzajiem atrisinājumiem. Diferenciālvienādojuma atrisinājumu uzlūkojot ne tikai par mainīgā t funkciju, bet, ievērojot atkarību arī no sākuma punkta, atrisinājumu, kurš apmierina sākuma nosacījumu x(t₀)=x₀, apzīmēsim j(t,t₀,x₀). Tātad

                                      j₁(t)=j(t,t₀,x₁), j₂(t)=j(t,t₀,x₂).

Šāda pieeja ļoti būtiska tieši praktiskos uzdevumos, kur sākuma nosacījumi tiek iegūti mērījumu rezultātā, neizbēgami rodas mērījumu kļūdas, sākuma vērtības parasti nav precīzas. Pētāmais jautājums līdz ar to ir ar lielu praktisku nozīmi: kā mazas sākuma vērtību izmaiņas ietekmē diferenciālvienādojuma atrisinājuma izturēšanos garākā vai īsākā t maiņas intervālā. Matemātiski šeit runa ir par atrisinājuma nepārtrauktību pēc mainīgām sākuma vērtībām.

Kā svarīgāko un arī vienkāršāko apskatīsim atrisinājuma j atkarību no x sākuma vērtības.

Lemma 7.4. Slēgtā, galīgā t maiņas intervālā atrisinājums j ir nepārtraukti atkarīgs no x sākuma vērtības.

Ja sākuma nosacījumi divām Košī problēmām ir uzdoti vienai un tai pašai t₀ vērtībai, abu problēmu atrisinājumiem noteikti ir kāds kopīgs eksistences intervāls. Slēgtā, galīgā šī intervāla apakšintervālā I no (7.14) izriet

                                               êj (t,t₀,x₁)- j (t,t₀,x₂) ê£Kçx₁-x₂ç,              (7.15)

tātad atrisinājums j pēc x sākuma vērtības slēgtā, galīgā t maiņas intervālā apmierina Lipšica nosacījumu un ir nepārtraukta (vienmērīgi) funkcija.

Piezīme. Neskatoties uz tikko konstatēto nepārtrauktību, no nevienādības (7.13) diviem precīziem atrisinājumiem izriet

                                               ,

tātad sākuma momentā t=t₀ patvaļīgi tuvi atrisinājumi (ïx₁-x₂ï patvaļīgi mazs), t pieaugot, var eksponenciāli attālināties un pietiekoši lieliem t tiem vairs nav nekā kopīga. Šāda situācija tiešām nereti arī ir novērojama.

Piemērs 7. 2. Ja vienādojumam x’=-x atrisinājumu starpība

,

tad vienādojumam x’=x gluži pretēji

,

lai cik maza arī nebūtu starpība . Skat. zīmējumu 7.2:

            Zīmējums 7.2

Aplūkojot otru vienkāršoto situāciju - j atkarību no t sākuma vērtības fiksētam x₀, ja t₁ un t₂ ir izvēlēti tik tuvu, lai atrisinājumiem j(t,t₁,x₀) un j(t,t₂,x₀) būtu kopīgs eksistences intervāls I un t, t₁, t₂ÎI, izmantojot Gronuolla lemmu, var pierādīt, ka slēgtā, galīgā t maiņas intervālā I j apmierina Lipšica nosacījumu arī pēc t sākuma vērtības [3] un tātad ir spēkā apgalvojums.

Teorēma7. 2. Kompaktā apgabalā I´I´J j ir nepārtraukta funkcija.

Pierādījumu var iegūt, izmantojot nepārtrauktības definīciju un trijstūra nevienādību [3,15]

Piezīme. Ir spēkā arī daudz vispārīgāks apgalvojums: ja f eksistences kopa ir vaļēja, tad j eksistences apgabals telpā R³ (Rⁿ⁺² sistēmas gadījumā) ir vaļēja kopa un j visā šai kopā ir nepārtraukta.[17]

3. Atrisinājuma atkarība no parametriem vienādojuma labajā pusē.

Ļoti bieži ir gadījumi, kad vienādojuma labajā pusē ieiet viens vai vairāki skaitliski parametri. Praktiskos uzdevumos šie parametri ir ar fizikālu (bioloģisku, sociālu u.c.) jēgu - tieši tie raksturo atsperes elastību vai berzes spēku, temperatūru, siltuma vadāmības koeficientu u.c. mehāniskai sistēmai, populācijas augšanas vai izmiršanas ātrumu bioloģijas piemēros. Protams, vienādojuma atrisinājums ir būtiski atkarīgs no šiem parametriem. Var tikt izvirzīts jautājums par šīs atkarības raksturu - vai tā ir nepārtraukta, pietiekoši gluda, vai, gluži otrādi, iespējami kaut kādi kvalitatīvi lēcieni.

Piemērs 7.3. Vienkāršu atkarību no parametriem redzam otrās kārtas vienādojumam

                                               x”+2dx’+w²x=0,

piemērā 3.5, kurā w² raksturo atsperes elastības spēku, bet d ir berzes spēku raksturojošs koeficients. Atkarībā no koeficientu samēriem vienādojums apraksta dažādus atsperes kustības režīmus. Konkrētu uzdevuma pētījumu skat. piemērā 9.2.

Aplūkosim Košī problēmu

                                   (7.16)                                                              (7.16)

,                                                                                                                     (                                   

pieņemot, ka f:G´L®R, GÍR², L=]l₁;l₂[, fÎC(G´L,R). Šādas problēmas atrisinājumu apzīmēsim j(t; l ).

Piemērs7.4. Košī problēmas

                                              

atrisinājums ir  ar visiem l kopīgu eksistences intervālu ]0;+¥[. Atrisinājums ir nepārtraukta (t,l) funkcija. Zīmējumā 7.3 redzamas Košī problēmas integrāllīnijas dažādām l vērtībām:

Teorēma7.3. Ja f ir nepārtraukti diferencējama funkcija apgabalā G´L,

GÍR², L=]l₁;l₂[, katram (t₀,x₀)ÎG ir tāda apkārtne, kurā Košī problēmai (7.16) katram lÎL eksistē viens vienīgs nepārtraukts atrisinājums j(t;l). Ja atrisinājuma j eksistences intervālu apzīmējam ar I, j kopā I´L ir nepārtraukti diferencējama funkcija.

Teorēmas pierādījumu skat., piem, [15,16,17 u.c.]

Diferencējamība pēc parametra nebūt neizslēdz situāciju, kad atsevišķām parametra vērtībām diferenciālvienādojuma atrisinājumi var krasi kvalitatīvi mainīties.

Piemērs 7.5. Izpētīsim vienādojuma

                                               x’=lx-x³

atrisinājumu izturēšanos dažādām l vērtībām. Visām l vērtībām vienādojumam ir atrisinājums x=0.

Ja l<0, sgn(lx-x³)=-sgnx, tāpēc x>0 visi atrisinājumi ir dilstoši, x(t) ®0, t®+¥. x<0 visi atrisinājumi aug, arī x(t)®0, t®+¥.

                                    Zīmējums 7.4

c>0 atrisinājumu izturēšanās x=0 apkārtnē ir gluži citāda. Parādās divi jauni konstanti atrisinājumi ,  visi atrisinājumi ir augoši un , ja t®+¥. Ja , atrisinājumi dilst, bet tāpat , ja t®+¥. x<0 aina ir simetriska pret x asi. Integrāllīniju izvietojuma kvalitatīvo ainu skat. zīmējumā 7.5 (l=1).

Šādā gadījumā saka, ka vērtībai l=0 vienādojumā notiek bifurkācija.

                                                Zīmējums 7.5

Kvalitatīvai atrisinājumu pētīšanai tieši bifurkāciju vērtības ir ļoti svarīgas.

4. Vispārinājums.

Visi šī paragrāfa apgalvojumi, sākot no lemmas 7.3, ir spēkā arī diferenciālvienādojumu sistēmām (tātad arī n-tās kārtas vienādojumiem). Vienīgā formālā izmaiņa formulējumos ir tā, ka iejošo funkciju moduļi jāaizstāj ar atbilstošo vektorfunkciju normām.

8. LineĀri n-tās kārtas vienādojumi un lineāras vienādojumu sistēmas.

Definīcija 8.1. Par lineāru homogēnu n-tās kārtas vienādojumu sauc vienādojumu

a₀(t)x⁽ⁿ⁾+a₁(t)x^(n-1)+…+a_n(t)x=0,              (8.1)

kur a_kÎC(I,R), IÍR.

Turpmāk pieņemsim, ka "t ÎI a₀(t)¹0.

Apzīmēsim Lx:=a₀(t)x⁽ⁿ⁾+a₁(t)x^(n-1)+…+a_n(t)x un vienādojumu (8.1) pierakstīsim formā

                                      Lx=0.

Definīcija 8.2. Par lineāru nehomogēnu n-tās kārtas vienādojumu sauc vienādojumu

                                   Lx=f (t),                                                           (8.2)

kur f ÎC(I,R).

Pēc lemmas 1.1, ieviešot jaunus mainīgos y₁:=x, y₂:=x’, y₃:=x”,…,y_n=x^(n-1)       , vienādojumu (8.2) var pārvērst par vienādojumu sistēmu

                     (8.3)

(8.3) ir lineāras nehomogēnas sistēmas speciālgadījums.

Definīcija 8.3. Par lineāru nehomogēnu n-tās kārtas diferenciālvienādojumu sistēmu sauc sistēmu

                                     (8.4)

kur koeficientu matrica a_ijÎC(I,R), bet fÎC(I,Rⁿ).

Attiecīgi

                                                                                      (8.5)

sauc par lineāru homogēnu n-tās kārtas vienādojumu sistēmu.

Teorēma 8.1. Ja a_ijÎC(I,R), I=[a;b], fÎC(I,Rⁿ), "t₀Î]a;b[, "x₀ÎRⁿ Košī problēmai

                                                                                    (8.6)

eksistē viens pats atrisinājums, kurš ir turpināms uz visu intervālu I.

Atrisinājuma eksistence un unitāte izriet no vispārīgās atrisinājuma eksistences un unitātes teorēmas, ievērojot to, ka labā puse ir nepārtraukta un pēc x apmierina Lipšica nosacījumu:

.

Matricas A normas ierobežotība izriet no tās elementu nepārtrauktības slēgtajā intervālā I.

Pierādot atrisinājuma turpināmību, pieņemsim t₀=0 un aizstāsim (8.6) ar ekvivalento integrālvienādojumu (vektoriālo):

          (8.7)

No (8.7) dabūjam

Slēgtā, galīgā intervālā I . Tāpēc visā problēmas atrisinājuma eksistences intervālā I₁ÍI

,

līdz ar ko tÎI₁ dabūjam:

Tā kā , iegūstam

,

no kurienes pēc Gronuolla lemmas

.                 (8.8)

No (8.8) secinām, ka atrisinājuma vērtības nevienai galīgai t vērtībai nevar tiekties uz bezgalību. Tāpēc atrisinājums ir turpināms visā koeficientu nepārtrauktības intervālā I.

Teorēma 8.2. Ja j ir sistēmas (8.5) atrisinājums un $ t₀ÎI:j(t₀)=0, tad j=0.

Teorēmas apgalvojums ir secinājums no Košī problēmas atrisinājuma unitātes problēmai ar sākuma nosacījumu x(t₀)=0.

Teorēma 8.3. Ja j₁ unj₂ ir sistēmas (8.5) atrisinājumi, bet j₃ un j₄ ir sistēmas (8.4) atrisinājumi, tad "c₁, c₂ÎR c₁j₁+ c₂j₂ ir sistēmas (8.5) atrisinājums, j₃-j₄ ir sistēmas (8.5) atrisinājums un j₁+j₃ ir sistēmas (8.4) atrisinājums.

Pierādījumu iegūstam ievietojot.

Sekas. Ja j_1, j_2, …,j_k ir sistēmas (8.5) atrisinājumi, bet c₁, c₂, …,c_k ir patvaļīgas konstantes, tad  arī ir sistēmas (8.5) atrisinājums.

Definīcija 8.4. Sistēmas (8.5) atrisinājumus j_1, j_2, …,j_k sauc par lineāri atkarīgiem, ja eksistē tādas konstantes c₁, c₂, …,c_k,.åçc_j ç¹0, ka .

Definīcija 8. 5. Ja sistēmas (8.5) atrisinājumi j_1, j_2, …,j_k nav lineāri atkarīgi, tos sauc par lineāri neatkarīgiem.

Teorēma 8.4. Ja , tad atrisinājumi j_1,j_2,…,j_k..ir lineāri atkarīgi.

Apgalvojums izriet no teorēmām 8.3 un 8.2.

Definīcija 8.6. n lineāri neatkarīgu sistēmas (8.5) atrisinājumu sistēmu, sauc par tās fundamentālo atrisinājumu sistēmu (FAS).

Atrisinājumu sistēmai j_1, j_2, …,j_k turpmāk piekārtosim matricu F=(j_1,j_2,…,j_k), kuras kolonas ir atrisinājumu vektori.

Gadījumā k=n šīs matricas determinantu W=detF sauc par atrisinājumu sistēmas Vronska determinantu.

Ja atrisinājumu sistēma ir fundamentāla, tās matricu sauc par fundamentālo matricu.

Teorēma 8.5. Atrisinājumu sistēma j_1, j_2, …,j_n ir fundamentāla tad un tikai tad, ja tās Vronska determinants W(t)¹0.

Teorēmas apgalvojums izriet no vispārīgās algebras teorēmas par vektoru lineāro neatkarību.

Piezīme. Saskaņā ar teorēmu 8.4, ja W (t₀)=0 kādam t₀ÎI, tad visiem tÎI W(t)=0.

Teorēma 8.6. Sistēmai (8.5) eksistē FAS.

Teorēmu pierādām, konstruējot FAS. Ar j₁ apzīmējam to sistēmas atrisinājumu, kurš apmierina nosacījumu , ar j₂ to, kuram ,…, ar j_n to, kur. Šie atrisinājumi, acīmredzot, ir lineāri neatkarīgi.

Teorēma 8.7. Fundamentālā matrica F apmierina matricu diferenciālvienādojumu

                                                F’=A F.

Teorēmas pierādījumu iegūstam, ievērojot, ka katra matricas F kolona apmierina vienādojumu sistēmu (8.5) ar matricu A, bet matricas F’ kolonās ir attiecīgo matricasF kolonu atvasinājumu vektori.

Teorēma 8.8. Ja F=(j_1,j_2,…,j_n) ir sistēmas (8.5) fundamentālā matrica, šīs sistēmas vispārīgais atrisinājums ir

                                  (8.8)

Piezīme. Izvēloties , apgalvojumu (8.8) var pierakstīt vektoriālā formā j=Fc.

Teorēmas pierādījumam ievērojam, ka:

1)  no teorēmas 8.3 izriet , ka " c (8.8) ir (8.5) atrisinājums;

2)  katru sistēmas (8.5) atrisinājumu var uzrakstīt formā (8.8).

Šī pēdējā apgalvojuma pamatojumam pietiek aplūkot patvaļīgu Košī problēmu sistēmai (8.5) ar nosacījumu x(t₀)=x₀ un pārbaudīt, ka konstantes c_j var tā atrast, lai (8.8) apmierinātu sākuma nosacījumu. Vektoriālā pierakstā

F (t₀) c=x_0.

Tā kā matrica F ir fundamentāla, tai eksistē inversā un varam izteikt c:

c=F^-1(t₀) x_0.

Tātad Košī problēmas atrisinājums ir viennozīmīgi izsakāms

j (t)=F (t₀) F ^-1(t₀) x_0.

Uzmanību! Praktiski šis paņēmiens nozīmē, ka tiek risināta lineāra algebriska vienādojumu sistēma konstanšu c_j noteikšanai. Sistēmas matricas determinants ir atbilstošās atrisinājumu sistēmas Vronska determinants.

Sekas. Lineāras homogēnas sistēmas (8.5) atrisinājumi veido n-dimensionālu lineāru telpu. Telpas bāzes elementi ir FAS atrisinājumi.

Teorēma 8.9. Ja F ir sistēmas (8.5) fundamentālā matrica, y ir sistēmas (8.4) partikulārs atrisinājums, tad sistēmas (8.4) vispārīgais atrisinājums ir

j=F c+y,

kur cÎRⁿ ir patvaļīgs vektors.

Pierādījums līdzīgs teorēmas 8.8 pierādījumam.

Teorēma 8.10. Sistēmas (8.4) partikulāro atrisinājumu var atrast ar konstanšu variācijas metodi.

Pēc konstanšu variācijas metodes (8.4) partikulāro atrisinājumu meklējam formā

                                               x=Fu,                                                  (8.9)

kur F ir (8.5) fundamentālmatrica, bet u:I®Rⁿ ir meklējamā vektorfunkcija. Ievietojam (8.9) sistēmā (8.4):

F’ u+ F u’=A F u+f,

izsakām                                  F u’=(A F - F’)u+f.

Tā kā katra matricas F kolona ir sistēmas (8.5) atrisinājums, izteiksme iekavās anulējas un iegūstamF u’=f.

Reizinot ar F^-1, dabūjam u’=F ^-1(t) f (t), tātad

Piezīme. Visas minētās definīcijas un teorēmas attiecas arī uz lineārā homogēnā vienādojuma (8.1) atrisinājumiem. Jāievēro tikai, ka saskaņā ar pārejas formulām y₁:=x, y₂:=x’, y₃:=x”,…,y_n=x^(n-1) vienādojuma (8.1) atrisinājumu y₁, y₂, y_n Vronska determinants ir

Piezīme. Lietojot konstanšu variācijas metodi lineāra nehomogēna vienādojuma (8.2) risināšanai, funkciju u_j noteikšanai ir vajadzīgi papildus nosacījumi [3]. Konkrētus piemērus skat. nākošajos paragrāfos.

9. Lineāri vienādojumi ar konstantiem koeficientiem.

1. Lineāri homogēni vienādojumi.

Lineārs homogēns n-tās kārtas vienādojums ar konstantiem koeficientiem ir formā

                                               x⁽ⁿ⁾+p₁x^(n-1)+…+p_nx=0,                               (9.1)   

kur pjÎR.

Pieraksta īsuma labad turpmāk apzīmēsim

                                        ,

līdz ar ko vienādojums (9.1) ir izskatā Lx=0.

Vienādojuma atrisinājumu meklējam formā

                                                                                               (9.2)

Tā kā , vienādojums (9.1) pārvēršas par

                                        ,

no kurienes secinām, ka e^lt ir (9.1) atrisinājums tad un tikai tad, ja l ir algebriskā vienādojuma

                                                                     (9.3)

sakne. Vienkāršības dēļ apzīmēsim , tad vienādojums (9.3) ir izskatā F(l)=0. (9.3) turpmāk sauksim par vienādojuma (9.1) harakteristisko vienādojumu.

a) Ja harakteristiskā vienādojuma (9.3) visas saknes l₁, l₂,...,l_n ir savā starpā atšķirīgas, vienādojumam ir n lineāri neatkarīgi atrisinājumi  un vispārīgais atrisinājums ir

                                        .

Atrisinājumu lineāro neatkarību pēc teorēmas 8.5 pārbaudām, sastādot atrisinājumu Vronska determinantu:

.

Ievērojam, ka šajā spriedumā nav izmantots apstāklis, ka saknēm l_j jābūt reālām - tās var būt arī kompleksi saistītas.

b) Ja vienādojumam (9.3) ir kompleksi saistītu sakņu pāris , līdz ar kompleksiem atrisinājumiem x₁(t)=expl₁t un x₂(t)=expl₂t vienādojumam (9.1) ir atrisinājumi

 un .

Pēc Eilera formulām

                                        .

Piemērs 9.1. Tagad esam ieguvuši pamatojumu apgalvojumam, ka vienādojums

                                         

apraksta nerimstošu svārstību procesu. Harakteristiskā vienādojuma  saknes ir tīri imagināras , līdz ar to atrisinājumi  un vienādojuma vispārīgais atrisinājums , kuru, piemēroti izvēloties konstantes, var pārveidot formā .

Piemērs 9.2. Piemērā 3.5 sastādīto vienādojumu

                                               ,

kurš apraksta atsperei piestiprināta punkta kustību gadījumā, kad tiek ņemts vērā arī berzes spēks, pārrakstām formā

                                   ,                                  (9.4)

apzīmējot . (9.4) harakteristiskais vienādojums ir

                                                 

ar saknēm . Lielas berzes gadījumā, t.i., , saknes ir reālas un vienādojumā (9.4) atrisinājumi ir monotoni dilstošas funkcijas, tātad svārstības nenotiek

                                               .

Turpretī gadījumā, kad berze ir relatīvi maza, , saknes ir kompleksi saistītas un vienādojuma atrisinājums  apraksta rimstošu svārstību procesu.

Piemērs 9.3. Vienkāršā elektriskā kontūrā noritošos procesus arī var aprakstīt ar lineāru diferenciālvienādojumu palīdzību. Ņūtona likuma vietā šeit izmantojam Kirhofa likumus.

1) Mezglā saejošo strāvu stiprumu algebriskā summa ir vienāda ar 0.

2) Noslēgtā kontūrā sprieguma kritumu summa ir vienāda ar darbojošos EDS summu.

Tā kā sprieguma kritums U uz omiskās pretestības R pēc Oma likuma U=IR, uz kondensātora ar lādiņu q un kapacitāti C , un indukcijas spole ar pašindukcijas koeficientu L dod indukcijas EDS ar lielumu , tad kontūrā, kurā ieslēgti kondensātors, indukcijas spole un omiskā pretestība, plūstošo strāvu I pēc Kirhofa otrā likuma var aprēķināt no vienādojuma  jeb . Apzīmējot , iegūstam vienādojuma (9.4) analogu

                                                                                     (9.19)

ar visai acīmredzamu atrisinājuma fizikālo interpretāciju: lielai pretestībai R, kad , kondensātors monotoni izlādējas, nekādas svārstības ķēdē nenotiek. Turpretī pietiekoši mazai pretestībai R, kad , tāpat notiek izlāde, bet tā jau ir ar svārstību tipu.                                        

c) Ja vienādojumam (9.3) ir vairākkārtīga sakne (konkrētības dēļ reāla) l₁=l₂=...=l_k vienādojumam (9.1) līdz ar atrisinājumu  ir arī atrisinājumi .Par šo faktu varam pārliecināties, ievietojot vienādojumā (9.1) un ievērojot, ka vairākkārtīgo sakņu gadījumā . Tā kā , bet

 ,

 tad, liekot, dabūjam, ka , t.i., ir (9.1) atrisinājums. Līdzīgi var pierādīt arī par pārējiem atrisinājumiem.

d) k - kārtīgu kompleksi saistītu (9.3) sakņu gadījumā vienādojumam (9.1) ir 2k atrisinājumi, kuri atbilst šīm saknēm:

.

Teorēma 9.1. Vienādojuma (9.1) vispārīgais atrisinājums ir visu norādīto atrisinājumu lineāra kombinācija ar patvaļīgiem reāliem koeficientiem.

Teorēmas pierādījumu var iegūt ar spriedumu no pretējā.

Secinājumi. Zinot vienādojuma (9.1) vispārīgo atrisinājumu, vienkāršākajā gadījumā n=2, t.i., vienādojumam

                                               x”+px’+qy=0

atzīmēsim dažus kvalitatīvus secinājumus par atrisinājumu izturēšanos.

a)  

Ja saknes l₁>0 un l₂>0, tad " çx(t)箥, t®+¥, izņemot atrisinājumu x=0, pie kam, vismaz sākot no kāda t, atrisinājums ir monotona funkcija;

                                                         Zīmējums 9.1, (l₁=1, l₂=2).

b)  ja l₁<0 un l₂<0, " çx(t)ç®0, t®+¥, un, vismaz sākot no kāda t, atrisinājums ir monotona funkcija;

Zīmējums 9.2

c)   ja l₁>0 un l₂<0, $ atrisinājumi, kuriem çx(t)ç® ¥, gan t®+¥, gan t®-¥. Visi atrisinājumi, sākot no kādas vietas ir monotonas funkcijas.

                                                Zīmējums 9.3

d) Ja l₁=l₂>0 "çx(t)箥, t®+¥, izņemot atrisinājumu x=0; l₁<0 "çx(t)ç®0, t®+¥, pie kam, vismaz sākot no kāda t, atrisinājumi ir monotonas funkcijas;

d)  

Ja , visi atrisinājumi ir oscilējoši. Ja µ>0, çx(t)箥, t®+¥, µ<0, t®+¥, çx(t)ç®0. µ=0 visi atrisinājumi ir periodiskas funkcijas.

                                                Zīmējums 9.4

2)  Lineāri nehomogēni vienādojumi.

Lineārs nehomogēns vienādojums ir formā:

                                        Lx=f(t).                                                         (9.5)    

Lineāru nehomogēnu vienādojumu katrai nepārtrauktai funkcijai f var risināt ar konstanšu variācijas metodi. Aplūkosim šo metodi konkrētā otrās kārtas vienādojuma x”+px’+qx=f(t) piemērā.

Piemērs 9.4. Atrisināt vienādojumu

                                        x”+x=tgt.                                                       (9.6)

a)Vispirms atrisinām atbilstošo lineāro homogēno vienādojumu

                                        x”+x=0.                                                         (9.7)

Šī vienādojuma harakteristiskais vienādojums

                                        l²+1=0,

tā saknes l_1,2=±i un vispārīgais atrisinājums

                                   x_h(t)=C₁cost+C₂sint.                                     (9.8)

b) x_h(t) izteiksmē (9.8) ieejošās konstantes C₁ un C₂ aizstājam ar jaunām meklējamām funkcijām u₁ un u₂ un vienādojumā (2) izdarām substitūciju

                                        x(t)=u₁cost+u₂sint.                                       (9.9)

Lai ievietotu vienādojumā (9.6) x no (9.9), atvasinām vispirms vienu reizi

             (9.10)

Formāli ievietojot x(t) vienādojumā (9.6), dabūsim vienu otrās kārtas vienādojumu ar divām meklējamām funkcijām u₁ un u₂. Lai šīs divas funkcijas varētu atrast, ir vajadzīgs vēl viens papildus nosacījums. Parasti papildus nosacījumu izvēlas šādi: pieprasām, lai pirmās kārtas atvasinājumā (9.10) ieejošais saskaitāmais, kurš satur funkciju u₁ un u₂ atvasinājumus būtu vienāds ar 0, t.i., šai uzdevumā:

                                                                            (9.11)

Ievērojot (9.11), atvasinām (9.10) vēlreiz:

                     (9.12)

Ievietojam vienādojumā (9.6) x un x” no (9.10) un (9.12).

                                                                      (9.13)

c) Vienādojumi (9.11) un (9.13) veido lineāru algebrisku vienādojumu sistēmu atvasinājumu u₁’(t) un u₂’(t) noteikšanai

                                                                      (9.14)

Ievērosim, ka sistēmas (9.14) matricas determinants ir lineāri neatkarīgo atrisinājumu sint un cost Vronska determinants, tātad sistēmai eksistē viens pats atrisinājums. Atrisinot sistēmu, dabūjam:

, ,

no kurienes . Ievietojot (9.9), dabūjam (9.6) atrisinājumu:

                                   ,

kur pirmie divi saskaitāmie, kā parasti, veido lineārā homogēnā vienādojuma vispārīgo atrisinājumu, bet pēdējais ir lineārā nehomogēnā vienādojuma partikulārais atrisinājums.

Piezīme. 1) Konstanšu variācijas metode ir lietojama lineārā nehomogēnā vienādojuma risināšanai arī tad, ja vienādojuma koeficienti nav konstanti.

2)  Konstanšu variācijas metodi var lietot arī augstāku kārtu lineāru nehomogēnu vienādojumu risināšanai, tikai tādā gadījumā papildus nosacījumu skaits būs lielāks - par vienu mazāks nekā vienādojuma kārta.

3)  Arī n-tās kārtas vienādojumam papildus nosacījumus izvēloties kā šai piemērā (9.11): pieprasot, lai visos atvasinājumos to saskaitāmo summas, kuri satur funkciju u_i pirmās kārtas atvasinājumus būtu 0, iegūstamās sistēmas (9.14) determinants vienmēr ir attiecīgā homogēnā vienādojuma atrisinājumu Vronska determinants. Vispārīgā gadījumā pamatojumu skat., piem., [3]

3. Nenoteikto koeficientu metode.

Vienādojuma

                                       

partikulārais atrisinājums ir attiecīgi vienādojumu

                                         un

partikulāro atrisinājumu summa. [3] Šis apgalvojums paver plašas iespējas vienkāršot partikulāro atrisinājumu atrašanas darbu.

Teorēma 9.2. Ja , kur P_m(t) ir m -tās pakāpes polinoms, bet  ir patvaļīga kompleksa konstante, vienādojumam (9.5) ir partikulārais atrisinājums formā:

a) ja , t.i., g nav vienādojuma (9.3) sakne, ;

b) ja , t.i., g ir vienādojuma (9.3) sakne ar kārtu k, .

 Q_m(t) ir m-tās pakāpes polinoms, kura koeficientus var atrast ar nenoteikto koeficientu metodi.

Teorēmas pierādījumu iegūstam, konstruējot atrisinājumu ar nenoteiktiem koeficientiem un pārliecinoties, ka koeficienti ir viennozīmīgi izrēķināmi.

Piezīme. Ja vienādojuma (9.5) labajā pusē ir saskaitāmie ar tipu  vai , arī var lietot nenoteikto koeficientu metodi, ievērojot, ka šoreiz . Tātad:

a) ja  un  nav vienādojuma (9.3) sakne, vienādojumam (9.5) ir partikulārs atrisinājums formā

                                        ,

 kur R_m(t) un Q_m (t) ir m -tās pakāpes polinomi;

b) ja  un  ir vienādojuma (9.3) sakne ar kārtu k, vienādojumam (9.5) ir partikulārs atrisinājums formā

                                        ,

kur R_m(t) un Q_m (t) tāpat ir m -tās pakāpes polinomi.

Piemērs 9.5. 1.Vienādojuma

                                                                            (9.15)

harakteristiskā vienādojuma

                                                                                                      (9.16)

saknes ir , tāpēc lineārā homogēnā vienādojuma vispārīgais atrisinājums

Atrodam vienādojuma

                                                                                             (9.17)

partikulāro atrisinājumu. Šai gadījumā g=1, tā ir vienkārša harakteristiskā vienādojuma (9.16) sakne, tāpēc vienādojuma (9.17) atrisinājums ir meklējams formā . Ievietojot atvasinājumus vienādojumā (9.17), atrodam ,

no kurienes.

Vienādojuma

                                                                                            (9.18)

partikulārais atrisinājums ir formā , jo g=2 nav harakteristiskā vienādojuma (9.16) sakne. Atvasinot un ievietojot vienādojumā, atrodam

B=-1 un x₂(t)=-e ^2t. Līdz ar to vienādojuma (9.15) vispārīgais atrisinājums ir .

Lai atrastu vienādojuma (9.15) atrisinājumu, kurš apmierina sākuma nosacījumus x(0)=0, x’(0)=1, atrodam (9.17) atrisinājumu, kurš apmierina nosacījumus x(0)=x’(0)=0 un (9.18) atrisinājumu, kuram x(0)=0, x’(0)=1. Atrisinājumu grafikus skat. zīmējumā 9.5. (9.15) atrisinājuma grafiks iegūts saskaitot.

Zīmējums 9.5

2.   Tā kā vienādojuma

                                        x“-x= 2sin t                                                   (9.19)

harakteristiskā vienādojuma saknes ir 1 un -1 (skat. iepriekšējo piemēru), tad vienādojuma (9.19) partikulāro atrisinājumu meklējam izskatā . Ievietojot un salīdzinot koeficientus pie sint un cost abās vienādības pusēs, iegūstam A=-1, B =0. Tāpēc partikulārais vienādojuma atrisinājums ir

Protams, šajā konkrētajā piemērā jau savlaicīgi varēja secināt, ka partikulārais atrisinājums kosinus funkciju nesaturēs.

3.   Grafiski ilustrēsim vienādojuma

                                        x“+4x= f (t)

partikulāro atrisinājumu izturēšanos dažādām funkcijām f, gadījumos, kad var lietot nenoteikto koeficientu metodi atrisinājuma formas noteikšanai. Harakteristiskā vienādojuma saknes ir ±2i.

Ja f(t)=2t, viens partikulārais atrisinājums ir lineāra funkcija, vispārīgais atrisinājums ir formā at+b+C₁sin2t+C₂cos2t. Zīmējumā 9.6 attēlots tā atrisinājuma grafiks, kuram x(0)=0, x’(0)=1

                                                            Zīmējums 9.6.

Ja f(t)=e^-2t, vispārīgais atrisinājums ir formā C₁sin2t+C₂cos2t+ae^-2t. Eksponentfunkcija ļoti strauji, t pieaugot, tiecas uz 0, atrisinājums lieliem t ir praktiski periodiska funkcija

                 Zīmējums 9.7

Ja f(t)=sint, vispārīgais atrisinājums ir formā C₁sin2t+C₂cos2t+asint+bcost, kur partikulārajā atrisinājumā ieejošās konstantes a un b var viennozīmīgi izrēķināt. Visi vienādojuma atrisinājumi ir periodiskas funkcijas ar periodu p. Zīmējumā 9.9 parādīts tā atrisinājuma grafiks, kuram atkal x(0)=0, x’(0)=1.

                                                            Zīmējums 9.8.

Ja f(t)=sin2t, vispārīgais atrisinājums ir formā C₁sin2t+C₂cos2t+t(asin2t+bcos2t), vienādojumam periodisku atrisinājumu nav. Ja x(0)=0, x’(0)=1, atrisinājuma grafiks parādīts zīmējumā 9.9. Pēc moduļa visu atrisinājumu vērtības, t pieaugot, neierobežoti aug. Fizikāli šādu gadījumu, kad uzspiesto svārstību frekvence sakrīt ar sistēmas pašsvārstību frekvenci, sauc par rezonansi.

                                                            Zīmējums 9.9

                                               

vispārīgā atrisinājuma izteiksmē

ieejošie periodiskie saskaitāmie ir ar nesamērojamiem periodiem, tāpēc gandrīz visi atrisinājumi ir neperiodiski, grafiku skat. zīmējumā 9.10.

                                               Zīmējums 9.10.

Vienīgais periodiskais atrisinājums ir

ar periodu        , tas atbilst konstanšu vērtībām C₁=C₂=0.

                                                  Zīmējums 9.11.

Piezīme. Lineārus vienādojumus ar konstantiem koeficientiem viegli risināt, kā arī to atrisinājumu grafikus zīmēt, ar pakešu Mathematica [6] vai Maple palīdzību. Visi šī paragrāfa zīmējumi veidoti, izmantojot Maple studentu versiju.

10. Lineāras sistēmas ar konstantiem koeficientiem.

1. Lineāras homogēnas sistēmas.

Pieņemsim, ka x ir n - dimensionāls kolonas vektors, A - kvadrātiska n´n matrica ar kostantiem elementiem. Lineāra homogēna sistēma ir formā:

                                                        (10.1)

Sistēmas (10.1) atrisinājumu, kurš apmierina sākuma nosacījumu x(0)=x₀ , meklēsim ar pakāpenisko tuvinājumu metodi. Šai nolūkā vispirms aizstāsim Košī problēmu ar ekvivalento integrālvienādojumu

                                     

un pieņemsim visiem t x₀(t)=x₀. Ar pakāpenisko tuvinājumu metodi atrodam:

,

Definējot , un, pārejot pakāpenisko tuvinājumu virknē uz robežu, dabūjam Košī problēmas atrisinājumu formā

 .                                                (10.2)

Piezīme. Ar Veierštrāsa mažorantu kritēriju, aplūkojot rindu, ko veido rindas (10.2) locekļu normas, var pierādīt, ka matricas eksponenti definējošā rinda konverģē katrai kvadrātiskai matricai, atrisinājums ir izteikts korekti, tikai šī forma nedod iespēju bez tuvāka pētījuma praktiski atrast atrisinājumu [10,19].

Praktiskai atrisināšanai meklēsim sistēmas (10.1) atrisinājumu formā:

                                      (10.3)

Ievietojot sistēmā (10.1), dabūjam

, jeb

,

t.i.,  šai gadījumā jābūt matricas A īpašvērtībai, bet a tai atbilstošajam īpašvektoram.

 Ja visas matricas A īpašvērtības ir reālas un vienkāršas, formā (10.3) dabūjam n lineāri neatkarīgus sistēmas (10.1) atrisinājumus. Praksē atrisinājumu var atrast ar nenoteikto koeficientu metodi.

Piemērs 10.1. Sistēmas

                                              

matricas īpašvērtības atrodam no harakteristiskā vienādojuma . Acīmredzot, . Īpašvērtībai  atbilstošo īpašvektoru dabūjam pēc definīcijas no vektoriālā vienādojuma ,no kurienes . Patvaļīgi izvēloties a=1, dabūjam īpašvektoru un pirmajai īpašvērtībai atbilst atrisinājums

                                               .

Īpašvērtībai  atbilstošā īpašvektora komponentes apmierina vienādību , tātad otrs īpašvektors ir ar atbilstošo atrisinājumu

                                               .

Dažādām īpašvērtībām atbilstošie īpašvektori ir lineāri neatkarīgi, tāpēc abu šo atrisinājumu lineāra kombinācija ar patvaļīgiem koeficientiem ir sistēmas vispārīgais atrisinājums

                                               .

Piezīme. Gadījumā n=2 sistēmas atrisinājumu, ne tikai reālām vienkāršām īpašvērtībām, vieglāk atrast ar izslēgšanas metodi. Ilustrēsim to piemēra 10.1 sistēmai. Atvasinām sistēmas pirmo vienādojumu pēc t un ievietojam  izteiksmi no otrā vienādojuma

                                              

Izsakām y no pirmā vienādojuma , ievietojam vēlreiz  un redzam, ka x apmierina otrās kārtas lineāru vienādojumu ar konstantiem koeficientiem

                                               ,

tātad .

Atrodam ,

kas ar pareizību līdz patvaļīgajām konstantēm sakrīt ar iepriekš atrasto atrisinājumu.

Ja īpašvērtības ir reālas, bet vairākkārtīgas l₁=l₂=...=l_k pēc analoģijas ar viena n -tās kārtas vienādojuma gadījumu, šādai īpašvērtībai atbilst k lineāri neatkarīgi atrisinājumi un to komponentes ir formā

aexpl₁t, P₁(t) aexpl₁t_, P₂(t) expl₁t,...P_k-1(t) expl₁t,

kur P_j(t) ir polinomi ar pakāpi ne augstāku par j. Šo polinomu koeficientus atrodam ar nenoteikto koeficientu metodi.

Ja matricai ir kompleksi saistītu īpašvērtību pāris a±ib, sistēmai ir divi šīm īpašvērtībām atbilstoši, savā starpā lineāri neatkarīgi atrisinājumi, kuru komponentes ir formā , kur arī šoreiz koeficientus k un m atrod ar nenoteikto koeficientu metodes palīdzību.

2. Lineāras nehomogēnas sistēmas

                                           (10.4)

risināšanai jebkuras nepārtrauktas funkcijas f gadījumā pēc teorēmas 8.9 var lietot konstanšu variācijas metodi. Šai nolūkā vispirms atrodam ar iepriekšminēto metodi n lineāri neatkarīgus sistēmas (10.1) atrisinājumus j₁,j₂,...j_n, apzīmējam šo atrisinājumu matricu F, un lineārās homogēnās sistēmas (10.1) vispārīgajā atrisinājumā j =åc_kj_k=Fc, c_kÎR, cÎRⁿ, ieejošo konstanto vektoru c aizstājam ar jaunu meklējamu vektorfunkciju u, tas ir, sistēmā (10.4) izdarām substitūciju j =Fu, jeb j=åu_kj_k..

Piemērs 10.2. Sistēmas

                                                                                            (10.5)

atbilstošajai homogēnajai sistēmai

                                              

matricas īpšvērtības ir  un šīs sistēmas atrisinājums

                                               .

Lietojot konstanšu variācijas metodi, nehomogēnās sistēmas (10.5) atrisinājumu meklējam formā

                                               .                                       (10.6)

Atvasinot funkcijas (10.6) un ievietojot sistēmā (10.5), dabūjam lineāru algebrisku sistēmu

                                               ,

no kurienes

.

Ievietojot atrastās u,v vērtības izteiksmēs (10.6), dabūjam sistēmas (10.5) atrisinājumu

              .

3. Nenoteikto koeficientu metode.

Ja speciālā gadījumā , m ir naturāls vai 0, gÎC ir kompleksa konstante, arī sistēmas (10.4) partikulāro atrisinājumu var meklēt ar nenoteikto koeficientu metodi. Atrisinājuma komponentes ir formā:

Q_m(t)e^gt, ja g  nav matricas A īpašvērtība, kur Q_m(t) ir polinomi, kuru pakāpe nepārsniedz m;

Q_m+k(t)e^gt, ja g  sakrīt ar matricas A īpašvērtību ar kārtu k.

Piemērs 10.3. Sistēmas

                                                

matricai ir divkārša reāla īpašvērtība . Atbilstošās lineārās homogēnās sistēmas atrisinājums

                                              

Brīvais loceklis šoreiz . Tā kā , partikulāro atrisinājumu meklējam formā

                                               .

Ievietojot viennozīmīgi var atrast konstanšu vērtības , pārējās paliek brīvas, jo attiecīgie saskaitāmie ieiet lineārās homogēnās sistēmas vispārīgajā atrisinājumā. Tāpēc sistēmas vispārīgais atrisinājums ir

                                               .

Gadījums , ir reducējams uz iepriekšējo, ja ievērojam, ka g=a±ib. Šoreiz atrisinājuma komponentes ir formā

                                        ),

 ja g=a±ib nav matricas īpašvērtības, P_m(t), Q_m(t), kā iepriekš, ir polinomi ar pakāpēm ne augstākām par m.

Ja g=a±ib ir matricas A īpašvērtības ar kārtām k, polinomu pakāpe atrisinājumā var par k vienībām palielināties, atrisinājuma komponentes ir meklējamas formā

                                        .

                          Literatūra

1.     J. Cepītis. Košī problēma pirmās kārtas parastam diferenciālvienādojumam. – Rīga, LU, 1992.

2.     J. Cepītis. Pirmās kārtas parastais diferenciālvienādojums.-Rīga,LU,1994.

3.     S. Čerāne. Diferenciālvienādojumu kurss. Eksistences teorēma. Lineāri vienādojumi. – Rīga, LVU, 1980.

4.     S. Čerāne. Diferenciālvienādojumu kurss. Speciālie jautājumi. – Rīga, LVU, 1981.

5.     L. Reiziņš. Stabilitātes teorija. - R., P. Stučkas LVU, 1977.

6.     Martha L. Abell, James P. Braselton. Differential Equations with Mathematica. - Academic Press, 1997.

7.     Braun M. Differential Equations and Their Applications. Springer-Verlag,1993.

8.     Calculus. Mathematics and Modeling. – Addison – Wesley. 1997.

9.     Eric J.Costelich, Dieter Armbruster. Introductory Differential Equations. From linearity to Haos.- Addison-Wesley.1996.

10.G. Jetschke. Mathematik der Selbstorganisation.- Berlin, 1989.

11.Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т.2.- М.,1960

12.Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости.- М., 1967

13. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.-М.1970

14. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных.-М.1966

15.Картан А. Дифференциальные формы. Дифференциальное исчисление.-М., Мир, 1971

16. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.-М.1970 и др.

17. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.1970 и др.  

18. Рейзинь Л.Э. Локальная топологическая эквивалентность дифференциальных уравнений. - Рига, 1971.

19. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.1970.

20. Д. Эрроусмит, К. Плейс. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. – М., Мир, 1986

21. Шилов Г.Е. Математический анализ. -М. 1972.

22. http://pineapple.apmaths.uwo.ca/~blair/nonlinearlab.html