arma modeļu lietošana tehnisko rezervju aprēķināšanā

Latvijas Universitāte

Fizikas un matemātikas fakultāte

Matemātiskās analīzes katedra

Diplomdarbs

arma modeļu lietošana tehnisko rezervju aprēķināšanā

4. kursa students

Agris Pļaviņš

Studenta apliecības. Nr.

MateB96062

Darba vadītājs: Prof. J. Carkovs

Rīga 2000

ANOTĀCIJA

Darbā ir aplūkota tehnisko rezervju aprēķināšanas problēma auto apdrošināšanā. Tiek aplūkotas vairākas praksē lietotas metodes šo rezervju aprēķināšanai. Tiek piedāvāts šajos aprēķinos izmantot ARIMA modeļus. Ir dots neliels ieskats datorprogrammu paketes WinRATS iespējās, novērtējot ARIMA modeļus. Nobeigumā visas metodes tiek salīdzinātas, izmantojot vienu konkrētu piemēru.

FYJNFWBZ

D hf,jnt hfccvfnhbdftncz ghj,ktvf dsxbcktybz nt[ybxtcrb[ htpthdjd  cnhf[jdfybz fdnjvj,bktq. Jgbcfys ytrjnjhst bcgjkmpetvst vtnjls dsxbcktybz htpthdjd. Ghtlkjuftncz bcgjkmpjdfnm lkz dsxbcktybz htpthdjd fdnjhtuhtccbjyye/ vjltkm ARIMA. Jgbcfys djpvj;yjcnb hf,jns c vjltkm/ ARIMA ghb gjvjob gfrtnf ghbrkflys[ ghjuhfvv WinRATS. Gjkextyyst lfyyst chfdybdf/ncz c htpekmnfnfvb dsxbcktybz htpthdjd vtnjlfvb gjcntgtyyjq wtgjxrb> evyj;bntktq b hfpltktybz.

Annotation

The aim of this work is to contemplate the calculation problem of the Loss reserves in car insurance. There have been considered several widely used methods for the calculation of the reserves. It is offered to use ARIMA models in the calculation. There have been given a little insight into the possibilities of the software package WinRATS in evaluating ARIMA models. In conclusion all the methods have been compared using the concrete example.
SATURS

IEVADS........................................................................................................................ 6

1     Rezervju aprēķināšanas metodes................................................. 8

1.1     Pakāpeniskās ķēdes metode......................................................................... 8

1.2     Reizinātāju metodes................................................................................... 10

1.3     Speciālgadījums – atdalīšanas metode.................................................. 13

2     ARMA(p,q) modeļi....................................................................................... 19

2.1     Slīdošā vidējā modelis MA(q)................................................................... 19

2.2     Autoregresīvais modelis AR(p)............................................................... 22

2.3     Jauktie autoregresīvie slīdošā vidējā procesi ARMA(p,q)................. 24

2.4     Programmu pakete winrats.................................................................. 26

3     ARMA(p,q) modeļu izmantošana rezervju aprēķinos...... 29

4     Piemērs............................................................................................................ 32

NOBEIGUMS............................................................................................................ 42

IZMANTOTĀ LITERATŪRA................................................................................ 43

IEVADS

Katru gadu apdrošināšanas kompānijām savs finansu gads jāslēdz 31. decembrī. Tas rada nopietnas problēmas, jo katrā laika momentā var būt daudzas vēl neiesniegtas prasības un nozīmīgas naudas summas var palikt ārpus rezervju prognozēm.

Dažas prasības kompānijai vēl nav pieteiktas tāpēc, ka tas ir noticis pašās gada beigās. Tās ir I.B.N.R. (incurred but not reported) prasības.

Dažas prasības vēl nav apmaksātas. Tas biežāk ir gadījumos, kad jākompensē miesas bojājumi. Lielākās summas parasti tiek izmaksātas par ceļu satiksmes negadījumos gūtajiem zaudējumiem kā kompensācija par ilgstošu darba nespēju. Lai uzzinātu kopējās apdrošināšanas izmaksas par šādiem negadījumiem, apdrošinātājam jāsagaida līguma termiņa beigas (traumas reizēm dzīst ļoti ilgi), lai eksperti varētu noteikt atbildības pakāpi un lai tiesa varētu noteikt zaudējumu summu. Arī prasību apmaksa var ilgt vairākus gadus. Lielākā aizkavēšanās parasti ir nopietnāko prasību gadījumā. Summas, kuras vēl nav izmaksātas un ir jārezervē, ir ļoti lielas. Kompānijas maksājumu likmju izpēte var, piemēram, uzrādīt tikai trešo daļu no kopējām prasību izmaksām sākotnējā gada ietvaros, apmēram 29% otrā gada laikā, 13% trešā gada laikā, 8% ceturtā gada laikā, u.t.t. Kad ir pagājuši 10 gadi, var izrādīties, ka 3.7% no prasību summas vēl joprojām nav izmaksātas. Miesas bojājumi, kas ir tikai desmitā daļa no prasību skaita, var izmaksāt ap 60% no kopējām prasību summām, bet aprēķināti kā 90% no rezervēm.

Rezervējamā naudas summa ir cieši saistīta ar prasību prognozēm. Tā, piemēram, var trīs reizes pārsniegt kompānijas ikgadējos ienākumus. Tā pat niecīgākais nepieciešamais novērtējums var slēpt sevī dramatisku efektu kompānijas rezultātu pārapdrošināšanā. Ja gadījumā kompānijas ikgadadējais ienākums ir 30 miljoni, kamēr prasību prognozes ir ap 3000 miljoniem un ja prognozes ir novērtētas tikai 2% par zemu, jādeklarē 30 miljonu deficīts. Šī kļūda var nākt gaismā tikai pēc vairākiem gadiem, pēc gūtās peļņas paziņošanas un dividenžu izmaksas.

Aktuāram, kurš aprēķina rezerves, jāsaskaras ar delikātām un būtiskām problēmām. Viņš ir sarežģītā situācijā, raugoties no sekojošiem apsvērumiem:

1. Rezerves parādās starp saistībām bilancē, un tas atstāj tiešu ietekmi uz peļņu un arīdzan uz kompānijas maksājamajiem nodokļiem. Ir liels kārdinājums pārspīlēt rezerves, lai novilcinātu nodokļu maksājumus. Rezervēt vairāk naudas nekā mazāk - tas ir zināms drošības pasākums, lai pasargātu sevi no iespējamām inflācijas svārstībām nākotnē.

2. Kompānija, kas ir sliktā finansiālā stāvoklī, var censties minimizēt savas rezerves. Vecas prasības apmaksājot ar tekošajiem ieņēmumiem, var vairākus gadus izdzīvot bez finansiālās krīzes, sevišķi, ja tas ir attīstības periods. Tādā veidā kompānija var gaidīt labākus laikus vai arī atlikt savu bankrotu uz vairākiem gadiem.

Tehnisko rezervju aprēķinos tiek lietots sekojošs izmaksu trijstūris:

C_ij ir kopējās izmaksātā summa j – tā gada beigās par i – tā gada prasībām.

c_ih ir h – tajā gadā izmaksātā summa par i – tā gada prasībām.

Zīmīgi, ka diagonāles reprezentē kalendāros gadus. Visi uz vienas diagonāles esošie maksājumi ir veikti vienā norēķinu gadā. Informācija zem galvenās diagonāles nav zināma, tā reprezentē nākotnes maksājumus. Ar R_i apzīmēsim prognozējamo neizmaksāto i – tā gada prasību apjomu.  kopējās i – tā gada prasību izmaksas.

1      Rezervju aprēķināšanas metodes

Turpinājumā iepazīsimies ar vairākiem modeļiem, kuri pasaulē tiek lietoti tehnisko rezervju novērtēšanai.

Metožu galvenais mērķis ir sastādīt izmaksu trijstūri, lai novērtētu lielumus C_i¥ i=1,…,k un tātad arī rezerves R_i. Ideālajā variantā rezervju novērtējumam būtu jābūt vienādam ar dotā gada neapmaksāto prasību nosacīto vidējo vērtību, ko var uzdot sekojoši:

.

Visas metodes, kuras ir aplūkotas zemāk, ir balstītas uz vieniem un tiem pašiem principiem:

1.      Pagātnes datu analīze

2.      Modeļa parametru novērtēšana

3.      Rezultātu ekstrapolēšana vai projecēšana nākotnē

Tām visām sākumā ir nepieciešams atrast C_i¥ novērtējumu . Tiek pieņemts, ka ar lielu ticamības pakāpi ir zināms senākā gada rezervju novērtējums (vai arī pieņemam, ka relatīvi lieliem k, C_1¥ ir tuvs C_1k).

1.1    Pakāpeniskās ķēdes metode

Strādājot pēc šīs metodes tiek pieņemts, ka tādi ārējie faktori kā inflācija, izmaiņas portfeļa sastāvā, norēķinu likmēs vai likumdošanā neiedarbojas. Tiek pieņemts arī, ka trijstūra kolonnas ir proporcionālas, izņemot, varbūt, gadījuma svārstības. Tas nozīmē, ka mēs varam pieņemt:

C_ij+1 = m_jC_ij     i = 1,…,k; j = 1,…,k-1 un C_j¥ = M_kC_ik            i = 1, …, k.

m_j ir gadījuma mainīgais, kurš reprezentē prasību maksājumu inflāciju starp j – to un j+1 – mo maksājumu gadu, bet M_k ir inflācija pēc jau pieredzētajiem k gadiem. Ja mēs to pieņemam, tad šie mainīgie nav atkarīgi no sākotnējā gada i.

Viens no m_j un M_k novērtēšanas veidiem ir:

 j = 1, …, k-1

un

.

Lai novērtētu rezerves R_i mums tikai soli pa solim jāizskaitļo prasību maksājumu inflācijas novērtējumi  pēc j gadiem.,

,

tad secināt

un

.

Metodes vājās vietas.

Pakāpeniskās ķēdes metode pēdējā laikā kļuvusi par bargas kritikas upuri.

Pirmkārt, tā ir statistiski nepamatota, jo tiek reizinātas savstarpēji atkarīgas matemātiskas izteiksmes. Matemātiskā cerība no gadījuma mainīgo reizinājuma ir vienāda ar matemātisko cerību reizinājumu tikai tad, ja mainīgie ir neatkarīgi. m_j reizinājums acīm redzami nav neatkarīgs. Lai par to pārliecinātos, varam pamainīt tikai vienu trijstūra elementu; ja gadījumā mēs nedaudz palielināsim C₃₂, ievērosim, ka  pieaugs, kamēr  samazināsies, kas rāda, ka starp m₁ un m₂ pastāv negatīva korelācija.

Otrkārt, metode ir ļoti jūtīga pret aplūkoto vērtību svārstībām. C_1k, starp citu, spēlē būtisku lomu kopš tas ir vienīgais novērojamais lielums skaitļošanā. C_1k izmaiņas izsauc arī izmaiņas rezervēs. No otras puses C_k1 izmaiņas nemaina rezerves sākotnējiem k-1 gadiem, bet fundamentāli ietekmē k – tā gada rezerves.

Treškārt, metode ignorē jebkādas ārējo faktoru izsauktas trijstūra elementu vērtību izmaiņas. Lai mazinātu šo kritiku, var ierosināt apskatīt divus metodes variantus.

Pirmais variants: ņemt vērā inflāciju.

Mēs ņemam vērā inflāciju, strādājot ar “konstantām cenām”. Pamazinām visu, maksājumus par vidējo cenu indeksa pieaugumu. Pēc metodes pielietošanas lielumi tiek transformēti atpakaļ tekošajās vērtībās. Inflācijas līmeņa ekstrapolācija nākotnē ļauj mums noteikt rezerves.

Otrais variants: modificētā pakāpeniskās ķēdes metode.

Salīdzinot ar pamatmetodi, iegūstam būtisku uzlabojumu, ņemot vērā inflāciju. Tagad citi faktori (kompānijas norēķinu politikas maiņa, likumdošanas maiņa un citi) var ātri izmainīt norēķinu tempu. Mēs varam ņemt vērā atšķirības, kuras var pastāvēt starp dažādu gadu maksājumu likmēm, strādājot nevis ar C_ij, bet gan ar

, kur

n_ij = kopējais sākotnējā gada i prasību skaits, kuras pieteiktas j – tajā maksājumu gadā,

n_j = kopējais prasību skaits par notikuma gadu i.

Kopējais prasību lielums tādā veidā ir reizināts ar pieteikto prasību proporciju.

Praksē n_i ir droši zināms tikai pēc visu I.B.N.R. prasību paziņošanas un nepamatoto prasību dzēšanas. Šķiet dabiski par n_i izvēlēties pieteikto prasību skaitu plus prognozējamo par pēdējo pieejamo gadu nepieteikto prasību skaitu, minimizējot kļūdīšanās robežu. Tomēr, ja par senākajiem apdrošināšanas gadiem vidējā kļūda ir maza, tas ir vēl svarīgāk pēdējiem gadiem.

1.2    Reizinātāju metodes

Aplūkosim j – tā maksājumu gada nekumulatīvo maksājumu summu c_ij par sākotnējā gada i prasībām un formulēsim sekojošas hipotēzes:

1. c_ij ir neatkarīgi gadījuma lielumi.
2. c_ij var pierakstīt formā c_ij = x_ip_jl_i+j-1.

Tātad mēs pieņēmām, ka šī summa ir trīs lielumu reizinājums, kas respektīvi ir atkarīgs no sākotnējā gada, maksājuma gada un kalendārā gada.

x_i - kopējā prasību summa, kas attiecas uz sākotnējo gadu i, izteikta konkrētā naudas izteiksmē.

p_j - ir j – tajā maksājumu gadā samaksātā x_i proporcija. Pieņemsim, ka maksājumu sadalījums pirmajos k gados {p_j: j = 1,…,k} ir stabils laikā, t.i., nav atkarīgs no sākotnējā gada.

l_i+j-1 - ir inflācijas un ārējo faktoru līmenis. Tas rāda prasību izmaksu indeksu i+j-1 grāmatvedības gadā.

Modelis bez inflācijas.

Sākumā aplūkosim modeli c_ij = x_ip_j.

Var tikt aplūkotas dažādas parametru novērtēšanas metodes. Mazāko kvadrātu metode minimizē izteiksmi , kur v_ij patvaļīgi svari. Tie var būt vienādi ar 1 vai arī mainīties saskaņā ar datu nozīmīgumu, vecumu, uzticamību u.t.t. Summa ir pa visiem trijstūra elementiem; Viena no metodes priekšrocībām ir tāda, ka nav nepieciešams zināt pilnīgu datu trijstūri. Ja gadījumā kādu gadu kompānijas norēķinu politika pēkšņi tiek grozīta, ir iespējams neņemt vērā agrāko informāciju un analizēt trijstūri izslēdzot šīs pirmās diagonāles.

Acīm redzams šīs metodes trūkums ir tāds, ka atrisinājums nav viennozīmīgi noteikts. Ja (x_i, p_j) ir sistēmas atrisinājums, tad arī

 (B>0)

ir sistēmas atrisinājums visiem B>0. Nenoteiktība var tikt novērsta ievedot nosacījumu

,

bet tas nav nepieciešams, kopš mēs interesējamies tikai par reizinājumiem c_ij = x_ip_j.

Pielīdzinot pirmās kārtas parciālos atvasinājumus pēc x_i un p_j nullei iegūstam sistēmu

 un ,

ko var atrisināt ar secīgām aproksimācijām.

Zīmīgi, ka nosacījuma pievienošana nerada lielu atšķirību novērtēšanas problēmā. Patiešām, minimizējam Lagranža funkciju

saskaņā ar sistēmu

        i = 1,…, k

   j = 1, …,k

.

Pirmās k izteiksmes reizinot attiecīgi ar x_i, …, x_j un nākošās k izteiksmes attiecīgi ar p_1, …, p_k, mēs iegūsim summu

.

Lagranža reizinātājiem rezultātā jābūt vienādiem ar nulli, un līdz ar to iegūstam sistēmu

, ,.

Modelis ar konstantu inflāciju.

Šajā modelī mēs pieņemam, ka l_i+j-1 = l^i+j-1 un minimizējam

.

Arī šis atrisinājums nav viennozīmīgi noteikts. Ja (x_i,p_j,l) ir atrisinājums, tad arī

ir atrisinājums jebkuriem B>0 un r>0.

Otrais modelis reducējas uz pirmo, ja (x_i, p_j) ir pirmā modeļa atrisinājums un (x_i,p_j,l=1) ir otrā modeļa atrisinājums. Ja tā nav, tad eksistē tāds (x_i’,p_j’,l’), ka

.

Fiksējam x_i’’=x_i’l’ⁱ un p_j’’=p_j’l’^j-1 un iegūstam

,

kas ir pretrunā ar pieņēmumu, ka (x_i, p_j) ir pirmās problēmas atrisinājums. Praksē ērtāk ir atrast pirmās problēmas atrisinājumu, un tad, izmantojot atrisinājuma neunitātes īpašību, iegūstam otrā modeļa atrisinājumu (x_i’=Bl^-1x_i, p_j’=B^-1l^-(j-1)p_j, l).

Tā modelis bez inflācijas ietver sevī modeli ar konstantu inflāciju. Vienas no neunitātes sekām ir tādas, ka modelis mums neļauj iegūt inflācijas novērtējumu. Iegūtās rezerves nav atkarīgas no l.

Galvenais modelis.

Galvenais modelis c_ij = x_ip_jl_i+j-1 uzrāda tādu pat unitātes trūkumu kā iepriekšējie modeļi. Pielīdzinot nullei pirmās kārtas parciālos atvasinājumus no

,

iegūstam sistēmu

, , ,

kuru arī ir iespējams atrisināt ar secīgam aproksimācijām. Liels galvenā modeļa trūkums ir novērtējamo parametru skaits. Ja k = 10, tad 30 parametri jānovērtē no 55 novērojumiem.

1.3    Speciālgadījums – atdalīšanas metode

Sekojošā reizinātāju metode, saukta arī par atdalīšanas metodi jeb Teilora metodi, neizmanto C_ij trijstūri, bet gan s_ij = c_ij/n_i formā s_ij = p_jl_i+j-1. Teilors piedāvā sekojošu novērtēšanas tehniku. Lai

,       h = 1,…,k

ir diagonāles locekļu summa (tā ir visa kalendārajā gadā h samaksātā summa), un lai

j – tās kolonas locekļu summa.

Tādejādi d_k = l_k(p₁ + p₂ + … + p_k). Pēc definīcijas

.       =d_k

Tā kā s_1k = p_kl_k = n _k,  .

Tad d_k-1 = l_k-1(p₁ + p₂ + … + p_k-1) = l_k-1(1 – p_k).

Tādejādi          .

Tad s_1k-1 + s_2k-1 = p_k-1(l_k-1 + l_k) = n_k-1 un .

Soli pa solim iegūstam

     h = 1, …, k

     j = 1, …, k.

Novērtējumi ir iegūti pragmatiskā ceļā. Tas rāda, ka galvenie nosacījumi tādi kā s_ij varbūtību sadalījums, sakrīt ar novērtējumiem, kas iegūti ar lielākās paticamības metodi.

Rezervju novērtēšanas problēma ir ļoti nozīmīga arī pārapdrošinātājam, jo var pāriet vairāki gadi, līdz prasība nonāk līdz viņam. Prasības sākotnējais apjoms inflācijas ietekmē, ceļā pie pārapdrošinātāja, var krietni pieaugt. Raugoties no pārapdrošinātāja redzes viedokļa, prasību skaita novērtējums ir tikpat svarīgs kā to summas novērtējums. Tālāk izmantosim sekojošu tabulu

Ar n_ij apzīmēsim prasību skaitu par i – to notikuma gadu, kas saņemtas j- tajā gadā. Mēs pieņemsim, ka

1.      cedējošās kompānijas prasību skaits sakrīt ar Puasona sadalījumu ar parametru a (neatkarīgu no i);

2.      katras prasības varbūtība tikt pieteiktai negadījuma gadā ir p₁, nākošajā gadā p₂ un tā tālāk līdz p_k k – ajā gadā. Visas prasības ir pieteiktas pēc k gadiem:

(Šis varbūtību sadalījums nav atkarīgs no negadījuma gada)

3.      Katrs kalendārais gads (tātad katra tabulas diagonāle) ir saistīts ar prasību summu sadalījumu, kura sadalījuma funkciju var uzrakstīt kā F_h(x), h=1,…,k.

Sekas no šīm hipotēzēm ir tādas, ka katrs trijstūra elements ir Puasona sadalījuma realizācija. Pirmajā kalendārajā gadā pārpalikušo prasību koeficientu aprēķināsim sekojoši

l₁ = a[1-F₁(x₀)].

Tā kā varbūtība prasībai tikt pieteiktai šajā negadījuma gadā ir p₁, tad iepriekšējās tabulas elementam n₁₁ atbilstošais Puasona parametrs ir p₁l₁.

Otrajā gadā pārpalikušo prasību skaita parametrs ir

l₂ = a[1-F₂(x₀)].

Tādēļ parametrs p₁l₂ atbilst elementam n₂₁. Atkārtojot šis darbības, soli pa solim iegūsim visu atdalīšanas metodei atbilstošo tabulu.

P[n₁₁,…,n_1k,…,n_k1|p₁,…,p_k, l₁,…,l_k] = .

Varbūtību funkcija ir vienāda ar

L = LogP[n₁₁,…,n_1k,…,n_k1|p₁,…,p_k, l₁,…,l_k]=

=

Ievedot nosacījumu

un pielīdzinot nullei Lagranža funkcijas

parciālos atvasinājumus pēc visiem nezināmajiem, iegūstam

… … …

… … …

Pareizināsim šos 2k vienādojumus attiecīgi ar p₁, p₂, …, p_k, -l₁, -l₂, …, -l_k un summēsim tos. Pāri paliek izteiksme

Lagranža reizinātājiem jābūt vienādiem ar nulli. Ievedot apzīmējumus

un

,

reducējam uz sistēmu

l_k = d_k

p_kl_k = n_k

l_k-1 - p_kl_k-1 = d_k-1

p_k-1l_k-1 + p_k-1l_k = n_k-1

… … … … … … …

l₁ - l₁p₂ - … - l₁p_k-1 - l₁p_k = d₁

p₁l₁ + p₁l₂ + … + p₁l_k-1 + p₁l_k = n_1,

kuras atrisinājums nodrošina tos pašus novērtējumus, kā ar Teilora paņēmienu iegūtos.

Šis modelis ņem vērā tikai prasību skaitu. Tomēr to var viegli piemērot arī prasību summām. Uzrakstot r_ij = E(s_ij), visus iepriekšējos reizinājumus var precīzi atkārtot, ja s_ij blīvuma funkciju var uzrakstīt kā

           (r_ij > 0).

Iegūstot l_h (h = 1, …, k) un p_j (j = 1, …, k) novērtējumus, mēs varam izskaitļot tabulu . Modeļa ticamības testēšanai salīdzināsim novērojumus s_ij ar to novērtējumiem  (šim nolūkam ir konstruēts  tests).

Lai konstruētu s_ij trijstūri, ir nepieciešams šajā vietā novērtēt nākotnes inflācijas ietekmi, ekstrapolējot l_h (h > k). To mēs varam izvēlēties apriori vai arī izmantot kādu prognozēšanas metodi. Tā, piemēram, varam prasīt lineāru atkarību, vai arī lietot ekstrapolācijas formulu

        h = k + 1, k + 2, …,

kur ikgadējo likmju pieaugumu a var iegūt pielietojot novērtējumus , …,. Tas ļauj mums izskaitļot kvadrātisku matricu .

Tad ievedīsim maksājumu summu, kas veikta sākot no k+1 maksājumu gada uz priekšu

.

Šos lielumus var novērtēt sekojoši

un

     i = 2,…,k

konstantas inflācijas gadījumā, un

pārējos gadījumos.

Tādejādi

ir C_i¥/C_ik-i+1 novērtējums, un metode noslēdzas tādā pat ceļā kā pakāpeniskās ķēdes metode:

un

.

Piezīme.

Atdalīšanas metode dažreiz uzrāda labākus rezultātus, ja d_h un n_j ir iegūti kā reizinājumi nevis kā summas. Tādā gadījumā to sauc par ģeometriskās atdalīšanas metodi.

2      ARMA(p,q) modeļi.

Laikrindu analīzē ir sastopams vesels arsenāls “standarta” lineāro modeļu, starp kuriem jau, pirmkārt, būtu jāmin MA(q), AR(p), ARMA(p,q). No vienas puses šo modeļu popularitāte slēpjas to vienkāršībā, no otras tajā, ka jau ar nelielu parametru skaitu tie spēj aproksimēt diezgan plašu stacionāru virkņu klasi.

Viens no svarīgiem statistisko datu empīriskās analīzes mērķiem ir to turpmākās attīstības prognozēšana. Tas, cik šī prognoze būs laba, protams, ir atkarīgs no veiksmīgas modeļa piemeklēšanas.

Šajā ziņā pamācoša ir valūtas maiņas kursa analīze. Tas rāda, ka sākot ar vienkāršiem lineāriem gausa modeļiem, nākas tos pastāvīgi koriģēt, padarīt sarežģītākus, lai beidzot iegūtu tādu modeli, kurš ietvertu tos fenomenus, kas atklājas empīriskajā analīzē.

2.1    Slīdošā vidējā modelis MA(q)

Visos tālāk aplūkojamajos modeļos virkni e = (e_n) uzskatīsim par balto troksni. Uzskatīsim to par gadījumu svārstību avotu, kas nosaka aplūkojamo objektu varbūtiski statistisko raksturu. Pieņemsim, ka Ee_n = 0, Ee_n² < ¥ un Ee_ne_m = 0, visiem n ¹ m. (Laika parametru n ērti uzskatīt par tādu, kurš pieņem vērtības 0, ±1,±2,…).

Ja vēl pievienojam normalitātes prasību, tad iegūstam normāli sadalītu savstarpēji neatkarīgu gadījuma lielumu virkni ar vidējo vērtību 0 un dispersiju s_n².

e_n ~ N(0, s_n²).

Turpmāk pieņemsim, ka s_n² º 1.

Gadījumprocesu h = (h_n) (-¥ < n < ¥) sauc par q –tās kārtas slīdošā vidējā procesu, ja tas apmierina vienādojumu

h_n = m - b₁e_n-1 - … -b_qe_n-q -b₀e_n,

kur e_n spēlē atjauninošās informācijas lomu.

Pārrakstīsim šo vienādojumu formā

.

Aplūkosim virknes h = (h_n) varbūtiskos raksturlielumus.

Acīmredzot Eh_n = m visiem n.

Tātad

Cov(h_n,h_n+k) = E(h_n,h_n+k) =

D(h_n) = E(h_n,h_n+0) =

r(k) = Corr(h_n,h_n+k) = ,         (0 £ k £ q)

Redzams, ka ne procesa vidējā vērtība, ne dispersija, ne kovariācija nav atkarīgas no n, līdz ar to esam parādījuši, ka MA(q) process ir stacionārs.

Aplūkosim MA(1) procesu, un pieņemsim, ka tā vidējā vērtība m = 0 un b₀ = -1.

h_n = e_n - b₁e_n-1.

r(0) = 1,            r(1) = ,

r(k) = 0 (k ³ 2)

Ieviesīsim laika nobīdes operatoru L, ko definēsim sekojoši

Lh_n = h_n-1,        attiecīgi L^jh_n = h_n-j

Izmantojot laika nobīdes operatoru, MA(1) vienādojumu pārrakstīsim sekojošā formā

h_n = (1-b₁L)e_n.

Tātad,

e_n = (1 – b₁)^-1h_n.

Ja  < 1, tad L ir lineārs saspiedošs operators, un tam eksistē apgrieztais operators

e_n = (1 – b₁)^-1h_n =

un

h_n = e_n - .

Pēdējo izteiksmi sauc par MA(1) procesa h = (h_n) bezgalīgas kārtas autoregresīvo reprezentāciju. Šāda reprezentācija eksistē tad un tikai tad, ja  < 1. Ja MA(1) procesam eksistē bezgalīgas kārtas autoregresīvā reprezentācija, tad to sauc par apgriežamu.

MA(1) procesiem ar parametriem b₁ un 1/b₁ ir viena un tā pati autokorelāciju funkcija r(k), jo

.

Tātad, zinot MA(1) procesa autokorelāciju funkciju, nav iespējams viennozīmīgi noteikt šī procesa parametra vērtību. Bet šis parametrs ir noteikts viennozīmīgi, ja papildus prasām, lai process būtu apgriežams.

Patvaļīgu stacionāru procesu sauc par apgriežamu, ja tam eksistē bezgalīgas kārtas autoregresīvā reprezentācija

h_n = .

Izmantojot laika nobīdes operatoru, pārrakstīsim vienādojumu, kuru apmierina MA(q) process.

h_n = b(L)e_n,

kur b(L) ir definēts kā

b(L) = 1 – b₁L – b₂L² -… - b_qL^q.

Polinomu b(L) sauc par slīdošā vidējā raksturīgo polinomu. Pēc šī polinoma var noteikt gan procesa kārtu gan parametrus.

Uzskatot, ka L ir mainīgais, kas var pieņemt kompleksas vērtības, varam aplūkot vienādojumu

1 – b₁L – b₂L² -… - b_qL^q = 0,

kuru sauc par slīdošā vidējā raksturīgo vienādojumu.

Izrādās, ka no šī vienādojuma sakņu īpašībām varam secināt, vai atbilstošais slīdošā vidējā process ir vai nav apgriežams. MA(1) procesa raksturīgā vienādojuma

1 – b₁L = 0

sakne ir 1/b₁. Atceramies, ka MA(1) process ir apgriežams tad un tikai tad, ja  < 1. Tātad varam teikt arī, ka MA(1) process ir apgriežams tad un tikai tad, ja tā raksturīgā vienādojuma sakne pēc moduļa ir lielāka par 1.

Izrādās, ka augstākas kārtas slīdošā vidējā procesiem ir spēkā šāds pēdējā apgalvojuma vispārinājums:

MA(q) ar parametriem b₁, b₂, …, b_q ir apgriežams tad un tikai tad, ja atbilstošā raksturīgā vienādojuma visas saknes ir ārpus kompleksās plaknes vienības riņķa.

2.2    Autoregresīvais modelis AR(p)

Stacionāru procesu h = (h_n) sauc par pirmās kārtas autoregresīvo procesu ar parametru a, ja tas apmierina vienādojumu

h_n = ah_n-1 + e_n  (1).

Šeit pieņemsim, ka Eh_n = 0 visiem n, Ee_n = 0, De_n= s².

Lietojot šo vienādojumu rekursīvi, iegūstam

h_n = a(ah_n-2 + e_n-1) + e_n = a²h_n-2 + ae_n-1 + e_n = a^Nh_n-N + .

Šajā izteiksmē izdarām robežpāreju, kad N ® ¥. Ja a^Nh_n-N ® 0, kad N ® ¥, tad  konverģē, un iegūstam, ka

h_n = (2).

Atzīmēsim, ka šeit jāapskata gadījumlielumu virkņu konverģence. Atceroties, ka visiem n dispersijas Dh_n ir vienādas, var parādīt, ka pieprasītā konverģence vidējā kvadrātiskā nozīmē ir spēkā tad un tikai tad, ja  < 1.

Vienādojumu (2) sauc par AR(1) procesa h_n bezgalīgo slīdošā vidējā reprezentāciju.

Izmantojot (2), atradīsim AR(1) procesa varbūtiskos raksturlielumus.

Cov(h_nh_h+k) = E(h_nh_h+k) =

Dh_n =

r(k) = a^k

No šīm izteiksmēm ir redzams, ka AR(1) process ar  < 1 ir stacionārs.

Ja gadījumprocess h = (h_n) apmierina vienādojumu ar  > 1, tad tas nevar būt stacionārs, jo

Dh_n = D(ah_n-1+e_n) = a²Dh_n-1 + De_n > Dh_n-1

Tātad esam parādījuši, ka AR(1) process ir korekti definēts ar vienādojumu (1) tad un tikai tad, ja  < 1. Un process, kas apmierina vienādojumu (1), ir stacionārs tad un tikai tad, ja tam eksistē bezgalīgā slīdošā vidējā reprezentācija (2).

Par p – tās kārtas autoregresīvo AR(p) procesu sauc stacionāru procesu h = (h_n), kas apmierina vienādojumu

h_n = , (3)

kur e = (e_n) ir baltais troksnis, a₁, …, a_p reāli skaitļi, pie kam a_p ¹ 0.

Tā pat kā AR(1) procesa gadījumā, arī šī definīcija ne visām parametru a₁, …, a_p vērtībām ir korekta, t.i., ne visām parametru vērtībām eksistē stacionārs process, kas apmierina vienādojumu (3).

Polinomu a(L),

a(L) = 1 – a₁L –a₂L² - … - a_pL^p,

sauc par autoregresīvo raksturīgo polinomu, bet vienādojumu

1 – a₁L –a₂L² - … - a_pL^p = 0,

sauc par autoregresīvo raksturīgo vienādojumu.

Lietojot raksturīgo polinomu un laika nobīdes operatoru, izteiksmi (3) var pārrakstīt kā

a(L)h_n = e_n

Var pierādīt, ka autoregresīvais process ir korekti definēts tad un tikai tad, ja tam eksistē bezgalīgā slīdošā vidējā reprezentācija.

Var arī pierādīt, ka stacionārs process, kas apmierina vienādojumu (3) eksistē tad un tikai tad, ja visas autoregresīvā raksturīgā vienādojuma saknes atrodas stingri ārpus kompleksās plaknes vienības riņķa.

2.3    Jauktie autoregresīvie slīdošā vidējā procesi ARMA(p,q).

Stacionāru procesu h = (h_n) sauc par jaukto (p,q) – kārtas autoregresīvo slīdošā vidējā ARMA(p,q) procesu, ja tas apmierina vienādojumu

h_n - m = ,          (1)

kur m procesa vidējā vērtība, e = (e_n) ir baltais troksnis, parametri a₁, …, a_p un b₁, …, b_q reāli skaitļi, bet a_p ¹ 0 un b_q ¹ 0.

Šo izteiksmi var pārrakstīt kā

h_n = ,

kur konstante

c = .

Cits veids, kā var pierakstīt ARMA(p,q) modeļa vienādojumu ir

a(L)(h_n - m) = b(L)e_n,

kur a(L) ir autoregresīvais raksturīgais polinoms, bet b(L) ir slīdošā vidējā raksturīgais polinoms.

Turpmāk uzskatīsim, ka šiem raksturīgajiem polinomiem nav kopīgu dalītāju, jo citādi abus polinomus pēdējā vienādojumā var izdalīt ar šo kopīgo dalītāju un iegūt vienādojumu, kas ir ekvivalents šim vienādojumam, bet jaunajiem raksturīgajiem polinomiem nav kopīgu dalītāju.

Atzīmēsim, ka ARMA(p,0) º AR(p) un ARMA(0,q) º MA(q)

ARMA(p,q) process ir korekti definēts tad un tikai tad, ja visas autoregresīvā raksturīgā vienādojuma a(L) = 0 saknes atrodas stingri ārpus kompleksās plaknes vienības riņķa. Tādā gadījumā process ir apgriežams tad un tikai tad, ja slīdošā vidējā raksturīgā vienādojuma b(L) = 0 saknes arī atrodas stingri ārpus kompleksās plaknes vienības riņķa.

Pierādīsim, ka šis apgalvojums ir spēkā ARMA(1,1) procesiem ar vidējo vērtību 0, t.i. kad gadījumprocess h = (h_n) apmierina vienādojumu

h_n = ah_n-1 + e_n – be_n-1                                                (2)

vai citā pierakstā

(1 – aL)h_n = (1 – bL)e_n.                                               (3)

Atzīmēsim, ka a ¹ b, jo citādi vienādojums (3) ir ekvivalents vienādojumam h_n=e_n, t.i., process h = (h_n) ir baltais troksnis.

Vispirms parādīsim, ka ARMA(1,1) process ir korekti definēts, tad un tikai tad, ja <1.

Ja <1, tad no vienādojuma (3) seko, ka

h_n = (1 – aL)^-1(1 – bL)e_n = (1 – bL)= e_n +

Tātad ir iegūta gadījumprocesa h = (h_n) bezgalīgā slīdošā vidējā reprezentācija, kurai

,

jo <1. Bet tad process ir stacionārs, kā pierādīts iepriekš.

Ja process apmierina izteiksmi (2) ar ³1, tad var pierādīt, ka

Dh_n > Dh_n-1

Tātad h = (h_n) nav stacionārs process. Līdz ar to apgalvojums, ka ARMA(1,1) process ir korekti definēts, tad un tikai tad, ja <1, ir pierādīts.

Tagad parādīsim, ka ARMA(1,1) process ir apgriežams, tad un tikai tad, ja<1.

Pieņemsim, ka šim procesam eksistē bezgalīgā autoregresīvā reprezentācija

h_n =                                                 (4)

No šīs un līdzīgas h_n-1 reprezentācijas izsakām e_n un e_n-1, un, ievietojot tos vienādojumā (2), iegūstam, ka

h_n = ah_n-1 +h_n - .

Izdarot elementārus pārveidojumus, redzam, ka

(a – b)h_n-1 -

Pielīdzinot nullei koeficientus pie h_n-k (k ³ 1), iegūstam, ka p₁ = a – b un p_k bp_k-1 (k³2).

No tā izriet, ka

p_k = (a – b)b^k-1             (k ³ 1)

Tātad izteiksmē (4) summa konverģē tad un tikai tad, ja <1. Līdz ar to nosacījums par ARMA(1,1) procesa apgriežamību ir pierādīts.

Tagad atradīsim ARMA(1,1) procesa autokovariāciju un autokorelāciju funkcijas. To var darīt, lietojot tā bezgalīgo slīdošā vidējā reprezentāciju.

Dh_n = Cov(h_n,h_n) = s²

= ,

bet, ja k ³ 1, tad

Cov(h_n,h_n+k) = s²s²[a^k-1(a – b) + (a – b)²

= s²a^k-1(a-b).

Tātad

Corr(h_n,h_n+k) =       (k ³ 1)

2.4    Programmu pakete winrats.

winrats ir spēcīga programma profesionālai statistiskai analīzei. Tā dod iespēju pētīt kā lineāros (ARIMA), tā arī nelineāros (ARCH, GARCH) modeļus. Paketē ir iekļauti daudz dažādi statistiskie testi, kā arī ir plašas grafiskās iespējas. Šajā nodaļā pieminēsim tikai dažus operatorus un komandas, kas mums būs nepieciešamas ARIMA modeļu atrašanai.

Operators calendar uzdod novērojumu skaitu gadā, aplūkojamo datu pirmā ieraksta gadu un periodu.

calendar gads periods frekvence

kur: gads               gads, kas atbilst pirmajam ierakstam datu kopā

periods           periods, kas atbilst pirmajam ierakstam datu kopā

frekvence        novērojumu skaits gadā

Komanda allocate uzdod aplūkojamo datu pēdējā ieraksta gadu un periodu.

allocate gads : periods

kur: gads               gads, kas atbilst pēdējam ierakstam datu kopā

periods           periods, kas atbilst pēdējam ierakstam datu kopā

Operatorus open un data lieto kopā. open pēc norādītā ceļa un faila nosaukuma atver datu failu. data apraksta aplūkojamo datu raksturu.

open data ceļš

data(format = *, org =**)

kur: *                     datu formāts

**                   datu raksturs

Operators boxjenk novērtē ARMA modeli.

boxjenk(opcijas) depvar start end residuals

kur: depvar            atkarīgais mainīgais

start end         novērtējumā izmantojamais datu apgabals. Pēc noklusēšanas tas ir maksimāli pieejamais.

residuals        datu sērijas nosaukums, kas tiek saukts par rezidiju. To var izlaist, ja nav vajadzības saglabāt. Tomēr rezidijs ir noteikti jāsaglabā, ja ir jāveic prognozēšana.

Galvenās opcijas.

constant        jānorāda ja ir jāaplūko konstante

diffs=             regulāro diferenču skaits. [pēc noklusēšanas = 0]

ar=                 autoregresīvā procesa kārta. [pēc noklusēšanas = 0]

ma=               slīdošā vidējā procesa kārta. [pēc noklusēšanas = 0]

define            ja ir vēlēšanās vēlāk izmantot prognozēšanas operatoru forecast, ir jāpiešķir izteiksmei numurs vai nosaukums.

Operators forecast veido dinamisko prognozi iepriekš definētam vienādojumam.

forecast(print) skaits soļi sākums

# vienādojums prognoze

kur: skaits              vienādojumu skaits sistēmā

soļi                 veicamo prognožu skaits

sākums           datums, ar kuru jāsāk prognozēšana

vienādojums   iepriekš definētās izteiksmes nosaukums

prognoze        datu kopas nosaukums, kurā jāsaglabā prognoze. Šo var arī izlaist.

Tikko aplūkotie operatori un komandas ir tie, kurus vēlāk izmantosim ARMA modeļu noteikšanai. Bet tā ir tikai niecīga daļa no šis paketes iespējām.

3      ARMA(p,q) modeļu izmantošana rezervju aprēķinos.

Iepazīstoties ar iepriekš aplūkotajām metodēm rezervju aprēķināšanai, rodas vēlēšanās kaut ko mainīt. Negadījumi, kas ir apdrošināšanas objekti, acīm redzot ir ar varbūtisku raksturu. Tajā skaitā arī ceļu satiksmes negadījumi. Iepriekš aplūkotajās metodēs gandrīz nemaz nav lietoti paņēmieni no statistikas, varbūtību teorijas vai kādas līdzīgas nozares.

Kā labs līdzeklis turpmāko izmaksu prognozēšanai, šķiet ARMA(p,q) modeļu pielietošana. Atcerēsimies, turpmāk izmantojamo izmaksu trijstūri:

Mūsu mērķis ir aizpildīt tabulas tukšās rūtiņas, t.i., jāprognozē izmaksu attīstība. Padomāsim, kurš modelis varētu būt piemērots. Tā kā pēdējā rindiņā ir zināms tikai viens elements, tad tas liek pievērsties modeļiem AR(1), MA(1) un ARMA(1,1), jo citi ARMA(p,q) modeļi prognožu veikšanai pieprasa zināt vairāk kā vienu iepriekšējo vērtību. Tā kā MA(1) modelis mums ļauj veikt prognozi tikai vienu soli uz priekšu, bet mums ir nepieciešams aizpildīt visu tabulu, tad arī MA(1) modeli neapskatīsim.

Pirmajā rindiņā ir visvairāk zināmo vērtību, līdz ar to ir cerības tieši šai rindiņai modeli piemeklēt visprecīzāk. Skaidrs arīdzan tas, ka pēdējās rindiņās zināmo vērtību būs par maz, lai varētu piemeklēt modeli.

Rodas dabiska vēlēšanās pirmajai rindiņai atrasto modeli pielietot visām pārējām rindiņām.

Aplūkosim parasto regresijas vienādojumu

,

kur b ir regresijas koeficients,  ir y vidējā vērtība,  ir x vidējā vērtība.

Pieņemsim, ka mūsu rīcībā ir novērojumi:

X = (x₁, x₂, …, x_n)

Y = (y₁, y₂, …, y_n),

tad

,          (1)

kur

.

Aplūkosim statistiku regresijas koeficientam:

,           (2)

kur b = E(b).

t ~ t_n-2 (Stjūdenta sadalījums ar n-2 brīvības pakāpēm).

Atgriezīsimies pie AR(1) modeļa un izmaksu trijstūra. Autoregresīvais vienādojums

h_n = ah_n-1 + e_n

pēc būtības ir regresijas vienādojums. a ir regresijas koeficients pašam ar sevi.

Ņemsim

X = (c₁₁, c₁₂, … ,c_1k)

Y =( c₁₂, c₁₃, … ,c_1k, c_1k+1).

Līdz ar to

,

kur

.

Tātad, izmantojot mūsu rīcībā esošo trijstūri un formulu (1), mēs varam aprēķināt katrai(patiesībā tikai tām, kurās ir pietiekami daudz zināmo elementu) trijstūra rindiņai regresijas koeficientu b_i, i = 1, …, k.

Tālāk, izmantojot statistiku t, varam atrast koeficientam b₁ ticamības intervālu

p(b⁽¹⁾ < b₁ < b⁽²⁾) = 0.95

Ja pārējās b_i vērtības pieder šim intervālam, tad varam pirmajai rindiņai piemeklēto autoregresīvo modeli pielietot pārējām rindiņām.

Tā kā regresijas koeficientus mēs varējām atrast tikai pirmajām n rindiņām (n izvēlamies pēc pašu ieskatiem) un, ja šie regresijas koeficienti pieder b₁ ticamības intervālam, tad vienkārši pieņemam, ka tas ir spēkā arī pārējiem k-n regresijas koeficientiem.

4      Piemērs.

Dots izmaksu trijstūris

Vispirms aprēķināsim rezerves ar AR(1) un ARMA(1,1) modeļiem.

Atradīsim interesējošos lielumus pirmajai rindiņai

 45549288         34111668          b₁ = 0.748896

Atradīsim regresijas koeficientam b⁽¹⁾ ticamības intervālu. Izmantosim statistiku t.

No Stjūdenta sadalījuma ar 5 brīvības pakāpēm tabulām nolasām t₁.

t₁ = 2.6

Pierakstu ērtības labad no (2) aprēķināsim sekojošu koeficientu

-2.6 < 3.7(0.75 - b) < 2.6

-0.77 < 0.75 -b <0.77

-1.52 < -b < 0.02

-0.02 < b < 1.52

Esam atraduši ticamības intervālu koeficientam b₁ (-0.02; 1.52). Aprēķināsim pārējos koeficientus b_i

 50732016          5452937           b₂= 0.698828

 30370442          20159965         b₃= 0.663802

 9890426            5538960           b₄= 0.560033

 1042201            -1076376          b₅= -1.03279

Redzam, ka b₂, b₃, b₄ Î (-0.02; 1.52), bet b₅ Ï (-0.02; 1.52). Paskatoties izmaksu trijstūrī, redzams, ka 5. rindiņa satur tikai trīs zināmus elementus. Līdz ar to varam uzskatīt, ka katras rindiņas regresijas koeficients pieder pirmās rindiņas regresijas koeficienta ticamības intervālam un varam visām rindiņām lietot vienu un to pašu autoregresīvo modeli.

AR(1) un ARMA(1,1) modeļu piemeklēšanai izmantosim datorprogrammu paketi Winrats.

Ar paketes palīdzību atrodam, ka mūsu datiem piemērots ir pirmās kārtas autoregresīvais modelis ar koeficientu 0.7553856714

h_t=0.7553856714h_t-1 +e_t

CALENDAR 1982 1 1

ALLOCATE 1988 1

open data c:\my documents\mans\diploms\piemers.rat

data(format=rats,org=obs) 1982:1 1988:1 izmaksas

boxjenk(define=eq,iterations=20,ar=1) izmaksas / resids

Dependent Variable IZMAKSAS - Estimation by Box-Jenkins

Iterations Taken     2

Annual Data From 1983:01 To 1988:01

Usable Observations          6         Degrees of Freedom   5

Centered R**2      0.974082         R Bar **2      0.974082

Uncentered R**2  0.993674         T x R**2              5.962

Mean of Dependent Variable           9270.1666667

Std Error of Dependent Variable     5770.1905139

Standard Error of Estimate                 928.9477090

Sum of Squared Residuals                4314719.2305

Durbin-Watson Statistic                           1.240508

Q(1-1)                                                       0.115869

Significance Level of Q                        0.00000000

   Variable               Coeff                  Std Error               T-Stat              Signif

****************************************************************

1.  AR{1}        0.7553856714       0.0269535944        28.02542       0.00000108

Izmantojot tikko atrasto modeli, veiksim izmaksu prognozi un aizpildīsim izmaksu trijstūra tukšās rūtiņas.

Saskaitot visus tumšajā drukā esošos elementus, iegūstam meklētās rezerves

= 162017

Līdzīgā veidā atradīsim ARMA(1,1) modeli un aizpildīsim izmaksu trijstūri.

boxjenk(define=eq,iterations=20,ar=1,ma=1) izmaksas / resids

Dependent Variable IZMAKSAS - Estimation by Box-Jenkins

Iterations Taken     6

Annual Data From 1983:01 To 1988:01

Usable Observations          6         Degrees of Freedom   4

Centered R**2      0.975122         R Bar **2      0.968903

Uncentered R**2  0.993928         T x R**2              5.964

Mean of Dependent Variable           9270.1666667

Std Error of Dependent Variable     5770.1905139

Standard Error of Estimate               1017.5431549

Sum of Squared Residuals                4141576.2886

Durbin-Watson Statistic                           1.650859

Q(1-2)                                                       0.052509

Significance Level of Q                        0.00000000

   Variable               Coeff                  Std Error               T-Stat              Signif

****************************************************************

1.  AR{1}        0.7548514569       0.0343515059        21.97433       0.00002538

2.  MA{1}       0.2329260187       0.5474183569         0.42550        0.69236701

Modelis, ko piemeklējām ar paketes WinRATS palīdzību, ir sekojošs

h_t = 0.7548514569*h_t-1 e_t+ 0.2329260187*e_t-1

un, veicot prognozēšanu, iegūstam sekojošu tabulu

= 173376

Pakāpeniskās ķēdes metode

Šeit izmantosim kumulatīvās izmaksas C_ij

         

                          

                         

                               

                               

                               

                              

                               

                              

                               

                                                                                              

Reizinātāju metode.

Izvēlamies sākotnējās p_j vērtības

.

Šī iterāciju virkne konverģē pietiekami ātri. Jau piektās iterācijas rezultāti sakrīt ar ceturtās iterācijas rezultātiem.

                                                           

                                                           

                                                           

                                                           

                                                           

                                                           

                                                           

                                                                                   

Atzīmēsim, ka

Aizpildīsim izmaksu trijstūri ar vērtībām c_ij = x_ip_j

Beigu beigās aprēķināsim rezerves

78224+4148                                                      =82374           

81287+2482.5+4528.3                                     =88297.7        

66402+3518.2+2138.8+3901.4                        =75960.4        

62347+6035.5+3547.3+2156.5+3933.7          =78020.1        

62833+12635.6+7263.9+4269.3+2595.5…    =94331.7        

33568+12334.4+9370.1+5386.7+3166.0…    =69260.7        

11346+10795.6+8138.2+6182.4+3554.1…    =45691.6        

                                                                                                           

Atdalīšanas metode.

Šī metode izmanto s_ij = c_ij/n_i trijstūri, kur n_i ir par i – to gadu pieteikto prasību skaits.

n₁ = 41774                   n₂ = 40072                n₃ = 33209                 n₄ = 30169

n₅ = 32281                   n₆ = 21801                n₇ = 15609

Izmantosim sekojošu s_ij tabulu

d₁ = s₁₁ = 0.5411

d₂ = s₁₂ + s₂₁ = 0.9683

d₃ = s₁₃ + s₂₂ + s₃₁ = 1.4950

d₄ = s₁₄ + s₂₃ + s₃₂ + s₄₁ = 1.8146

d₅ = s₁₅ + s₂₄ + s₃₃ + s₄₂ + s₅₁ = 2.0998

d₆ = s₁₆ + s₂₅ + s₃₄ + s₄₃ + s₅₂ + s₆₁ = 2.4460

d₇ = s₁₇ + s₂₆ + s₃₅ + s₄₄ + s₅₃ + s₆₂ + s₇₁ = 2.8154

n₇ = s₁₇ = 0.0544

n₆ = s₁₆ + s₂₆ = 0.1925

n₅ = s₁₅ + s₂₅ + s₃₅ = 0.5068

n₄ = s₁₄ + s₂₄ + s₃₄ + s₄₄ = 1.2322

n₃ = s₁₃ + s₂₃ + s₃₃ + s₄₃ + s₅₃ = 2.1255

n₂ = s₁₂ + s₂₂ + s₃₂ + s₄₂ + s₅₂ + s₆₁ = 3.5871

n₁ = s₁₁ + s₂₁ + s₃₁ + s₄₁ + s₅₁ + s₆₁ + s₇₁ = 4.4818

Aplūkojot  vērtības, redzam, ka tā pieaug, pieaugot i vērtībām. Šis pieaugums šķiet lineārs. Atrodam regresijas vienādojumu:

l = 0.1698i + 1.4834.

No šī vienādojuma atrodam novērtējumus

                                                       

                                                     

Tos izmantosim, lai izskaitļotu

Aprēķināsim sekojošus lielumus

                        

                        

                          

                        

                        

                        

                        

                                                                                              

Apkoposim ar visām metodēm iegūtos rezultātus

                                                                                 

PĶM               4148   6873   9426    15871     32135     35660     34231    138345

RM                  4148   7011   9558    15673     31499     35693     34346    137927

AM                  5280   7357   8983    14560     29049     32175     31044    128448

AR(1)              4148   4258   10516  24900     46420     41655     30120    162017

ARMA(1,1)    4148   4043   9979    26273     48200     41400     39332    173376

NOBEIGUMS

Esam piecos dažādos veidos novērtējuši rezerves, strādājot ar vieniem un tiem pašiem izejas datiem. Visus iegūtos rezultātus varam uzskatīt par pietiekoši tuviem, tomēr redzams, ka savstarpēji tuvāki rezultāti ir metodēm, kuras arī strādā līdzīgi, t.i., AR(1) un ARMA(1,1) modeļiem un attiecīgi pārējiem trīs modeļiem.

Nevienu no šīm metodēm nevar nosaukt par vislabāko visos gadījumos. Aktuāram katrā situācijā ir rūpīgi jāizvērtē viņa rīcībā esošā informācija un tikai tad jālemj, kuru metodi izvēlēties. Kā sākumā jau minējām, tad var būt dažādi apsvērumi, pēc kuriem vadoties izvēlēties pieeju. Mūsu aplūkotajā piemērā AR(1) modelis varētu būt piemērots piesardzīgākai kompānijai.

Latvijā apdrošināšanas kompānijas ir ļoti jaunas. Tām trūkst gan pieredzes gan speciālistu, lai savu darbību balstītu uz korektiem matemātiskiem aprēķiniem. Lielākoties notiek ārzemju prakses tieša pārņemšana, īpaši neiedziļinoties vietējās situācijas analīzē. (Ārvalstu kompāniju meitas uzņēmumos situācija ir atšķirīga.) Bieži vien ārzemēs lietotos modeļus nevar pārņemt tikai tāpēc, ka savā neilgajā darbības laikā vietējie apdrošinātāji nav paguvuši savākt pietiekami plašu un smalku nepieciešamo informāciju (vai arī vispār nav aizdomājušies, ka tādi dati būtu jāsavāc). Protams, virkne modeļu vienkārši nedarbojas Latvijas apstākļos.

Skaidrs ir viens - darba šajā interesantajā jomā vēl ir gaužām daudz, tāpēc atliek tikai mācīties, analizēt un darīt.

IZMANTOTĀ LITERATŪRA

1. Abakuks Andris, Neimanis Viesturs Laikrindu analīze. – Latvijas Universitāte, Rīga 1992.
2. Ibhztd F.Y. Jcyjds cnj[fcnbxtcrjq abyfycjdjq vfntvfnbrb -“AFPBC” Vjcrdf 1998, ukfdf 2.
3. Lemaire Jean Automobile insurance – Kluwer – Nijhaft Publishing, Boston 1996, 21. nodaļa.
4. Foundations of casualty Actuarial Science – R&S Financial Printing, 1990, 4. nodaļa.

Diplomdarbs izpildīts

Latvijas Universitātes

Matemātiskās analīzes katedrā

Fizikas un matemātikas

fakultātes 4. kursa studenta

(Studenta apliecības Nr. MateB96062)                                  ___________ A.Pļaviņš

                                                                                                     (paraksts)

Darbs izpildīts                          ___________ Prof., Hab.Dr.Math. Jevgeņijs Carkovs

                                                     (paraksts)

Diplomdarbs iesniegts katedrā 2000. g. “ .. ” ……….

Diplomdarbs aizstāvēts diploma pārbaudījumu komisijas sēdē 2000 g. “ .. ” jūnijā ar atzīmi ………………….

Protokols Nr. …………..

Diploma pārbaudījumu komisijas sekretārs ……………………..