Vidējie lielumi

7.- 8. lekcija
Ø Vidējo lielumu būtība statistikā. Vidējo lielumu veidi
Ø Svaru izvēle, aprēķinot vidējos lielumus
Ø Aritmētiskā vidējā galvenās matemātiskās īpašības
Ø Struktūras vidējie: moda un mediāna

Vidējie lielumi
Definīcija
Statistiskie vidējie lielumi ir vispārinoši rādītāji, kas izsaka masveida parādību tipiskos, raksturīgos līmeņus un stāvokļus konkrētos vietas un laika apstākļos
Vidējie lielumi
Tieši neizteic atsevišķa objekta pazīmes lielumu
Vidējie lielumi

Abstrakti lielumi un tieši neatbilst nevienai atsevišķai kopuma vienībai
Vidējā lieluma īpašības (I)

Øvidējais lielums vienmēr ir daudzu lielumu vidējais


Vidējā lieluma īpašības (II)
Øizpaužas lielā skaita likuma darbība:
sedzas nejaušo faktoru izsaukto skaitlisko vērtību novirzes un izpaužas būtisko faktoru izsauktās tipiskās, raksturīgās vērtības

Vidējā lieluma īpašības (III)



Vidējie lielumi
ØDod iespēju salīdzināt dažādus kopumus, objektus
ØTiek lietoti arī dinamikas pētījumos
ØTiek lietoti, statistiski nosakot sakarības starp parādībām
Kopuma grupējums
1.Grupa vid(1)
2.Grupa vid(2)
3.Grupa vid(3)
Vidējo lielumu veidi
Ø Pakāpju vidējie lielumi
- aritmētiskais vidējais
- ģeometriskais vidējais
- kvadrātiskais vidējais
- harmoniskais vidējais
Ø Struktūras vidējie
- moda
- mediāna

Vienkāršais aritmētiskais vidējais
- aritmētiskais vidējais
- variante
- kopas vienību skaits
Piemērs
N gadā uzbūvētas dzīvojamās ēkas (tūkst.m2) pa ceturkšņiem par iedzīvotāju līdzekļiem
Svērtais aritmētiskais vidējais
- pazīmes nozīme vai intervāla vidējā nozīme
- variantes biežums jeb atkārtošanās reižu skaits
Piemērs: Uzņēmumu akciju pārdošanas rezultāti biržā pārskata nedēļā
Svaru izvēle

Pēc varianšu un svaru
atbilstības pakāpes
Tiešie svari
Nosacītie svari
Tiešie svari
Statistiskā kopuma vienības, kurām tieši un individuāli piemīt pētāmās pazīmes varianšu dažādie skaitliskie lielumi
Nosacītie svari
Lielumi, kas pēc satura arī ir cieši saistīti ar pētāmo pazīmi, taču to atbilstība variantēm izpaužas zināmā nosacījumā jeb pieņēmumā
Ģeometriskais vidējais
- dinamikas rindas līmeņu skaits




Aritmētiskā vidējā matemātiskās īpašības






Pirmā īpašība
Pazīmes atsevišķo vērtību noviržu summa no aritmētiskā vidējā ir vienlīdzīga nullei
Otrā īpašība
Ja katras variantes biežumu f dala vai reizina ar vienu un to pašu lielumu c, aritmētiskais vidējais no tā nemainās

Trešā īpašība
Ja katru varianti x palielina vai samazina par kādu pastāvīgu lielumu a, tad aritmētiskais vidējais arī palielinās vai samazinās par to pašu lielumu a

Ceturtā īpašība
Ja katru varianti x reizina vai dala ar vienu pastāvīgu lielumu Δ , aritmētiskais vidējais tā rezultātā palielinās vai samazinās tikpat daudz Δ reižu
Ceturtā īpašība
Aritmētiskā vidējā aprēķināšana pēc nosacīto momentu metodes
Intervālu sadalījuma rindai aritmētisko vidējo aprēķina par varianšu skaitliskajām nozīmēm ņemot intervālu vidējās nozīmes
Struktūras vidējie ir konkrētas variantes, kas pētāmās parādības tipisko līmeni izsaka ar kaut kādā ziņā zīmīgu stāvokli sadalījuma rindā
Moda – variante, kurai sadalījuma rindā ir vislielākais biežums jeb svars
Piemērs: 2010. gadā 400 personas ir noguldījušas 200 LVL, 80 – 2000 LVL, 20- 1000 LVL, 100- 500 LVL
Diskrētā rindā moda nav jāaprēķina, bet jānolasa variante
ar vislielāko biežumu
Intervālu sadalījuma rindai
- moda
- modālā intervāla zemākā robeža
- modālā intervāla garums
- modālā intervāla biežums
- pirmsmodālā intervāla biežums
- pēcmodālā intervāla biežums



Modālais intervāls – intervāls ar vislielāko biežumu sadalījuma rindā
Jo šaurāki intervāli,
jo precīzāka moda
Mediāna – pazīmes skaitliskā vērtība, kāda tā ir ranžētas sadalījuma rindas vidū esošai vienībai
Mediānas kārtas numurs
- biežumu summa
Intervālu sadalījuma rindai

- mediāna
- mediānā intervāla zemākā robeža
- mediānā intervāla plašums
- mediānā intervāla biežums
- pirmsmediānā intervāla uzkrātais biežums
- kopas vienību (biežumu) summa
Mediānais intervāls – intervāls ranžētā sadalījuma rindā, kurā atrodas kopuma mediānā vienība
Mediānu lieto vērtējoša priekšstata iegūšanai
Moda pēc histogrammas
Moda pēc kumulātas